فرمول مشتق دو تابع. قوانین برای محاسبه مشتقات

با ویرایش مطالب با موضوع "مشتق". سطح مدرسه پایه.
اطلاعات نظری برای دانش آموزان، معلمان و معلمان در ریاضیات. برای کمک به برگزاری کلاس ها

تعریف:مشتق تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع به افزایش متغیر است، یعنی

جدول مشتقات توابع پایه ریاضی:

قوانین برای محاسبه مشتقات

مشتق از یک جمعهر دو عبارت برابر است با مجموع مشتقات این عبارات (مشتق حاصل از مجموع برابر است با مجموع مشتقات)

مشتق تفاوتهر دو عبارت برابر است با تفاوت مشتقات این اصطلاحات (مشتق تفاوت برابر است با تفاوت مشتقات).

مشتق محصولدو عامل برابر است با حاصلضرب مشتق عامل اول و دومی به اضافه حاصلضرب عامل اول و مشتق دوم (مجموع مشتقات عوامل به نوبه خود).
نظر معلم ریاضی:وقتی قانون محاسبه مشتق یک محصول را به دانش آموزی به اختصار یادآوری می کنم، این را می گویم: مشتق عامل اول با بعلاوه دوم. تبادل سکته مغزی!

مشتق از ضریبدو عبارت برابر است با ضریب تفاضل مشتقات عوامل به نوبه خود و مجذور مخرج.

مشتق حاصل ضرب یک عدد و یک تابع. برای یافتن مشتق حاصل ضرب یک عدد و یک عبارت تحت اللفظی (تابع)، باید این عدد را در مشتق این عبارت تحت اللفظی ضرب کنید.

مشتق تابع مختلط:

برای محاسبه مشتق تابع مختلط، باید مشتق تابع بیرونی را پیدا کرده و آن را در مشتق تابع درونی ضرب کنید.

نظرات و بازخورد شما در مورد صفحه مشتقات:
الکساندر اس.
من واقعا به یک میز نیاز داشتم. یکی از بهترین های موجود در اینترنت. از توضیحات و قوانین هم خیلی ممنونم. حداقل یک مثال دیگر برای آنها عالی خواهد بود. بازم ازت خیلی ممنونم.

Kolpakov A.N.، معلم ریاضیات:خوب، سعی می کنم در آینده نزدیک نمونه هایی را به صفحه اضافه کنم.

کتاب مرجع ریاضی مجازی.
کولپاکوف الکساندر نیکلایویچ، معلم ریاضیات.

اجازه دهید توابع u در یک همسایگی مشخص از یک نقطه تعریف شده و مشتقاتی در آن نقطه داشته باشند. سپس محصول آنها یک مشتق در نقطه دارد که با فرمول تعیین می شود:
(1) .

اثبات

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:
;
.
در اینجا و توابع متغیرها و . اما برای سهولت در علامت گذاری، از نامگذاری استدلال های آنها صرف نظر می کنیم.

بعد متوجه می شویم که
;
.
با شرط، توابع و مشتقاتی در نقطه دارند که حدود زیر هستند:
;
.
از وجود مشتقات بر می آید که توابع و در نقطه پیوسته هستند. از همین رو
;
.

تابع y متغیر x را در نظر بگیرید که حاصلضرب توابع و:
.
بیایید افزایش این تابع را در این نقطه در نظر بگیریم:



.
اکنون مشتق را پیدا می کنیم:


.

بنابراین،
.
قاعده ثابت شده است.

به جای متغیر، می توانید از هر متغیر دیگری استفاده کنید. بیایید آن را با x نشان دهیم. سپس اگر مشتقات و وجود داشته باشد، مشتق حاصلضرب دو تابع با فرمول تعیین می شود:
.
یا در نسخه کوتاهتر
(1) .

نتیجه

بگذارید توابعی از متغیر مستقل x باشند. سپس
;
;
و غیره. ...

بیایید فرمول اول را ثابت کنیم. ابتدا فرمول مشتق محصول (1) را برای توابع و و سپس برای توابع و:

.

سایر فرمول های مشابه نیز به روشی مشابه اثبات شده اند.

مثال ها

مثال 1

مشتق را بیابید
.

راه حل

قانون تمایز حاصلضرب دو تابع را اعمال می کنیم
(1) .
.

از جدول مشتقات در می یابیم:
;
.
سپس
.

در نهایت داریم:
.

پاسخ

مثال 2

مشتق تابع را از متغیر x بیابید
.

راه حل

ما از فرمول مشتق حاصل ضرب دو تابع استفاده می کنیم:
(1) .
.

ما از فرمول مشتق مجموع و تفاوت توابع استفاده می کنیم:
.
.

ما قوانین را برای تمایز ثابت ها اعمال می کنیم:
;
.
;
.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

عملیات یافتن مشتق را تمایز می گویند.

در نتیجه حل مشکلات یافتن مشتقات ساده ترین (و نه خیلی ساده) توابع با تعریف مشتق به عنوان حد نسبت افزایش به افزایش استدلال، جدولی از مشتقات و قوانین دقیقاً تعریف شده تمایز ظاهر شد. . اولین کسانی که در زمینه یافتن مشتقات کار کردند، اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (1646-1716) بودند.

بنابراین، در زمان ما، برای یافتن مشتق هر تابع، نیازی به محاسبه حد فوق الذکر از نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نیست، بلکه فقط باید از جدول استفاده کنید. مشتقات و قواعد تمایز. الگوریتم زیر برای یافتن مشتق مناسب است.

برای یافتن مشتق، به یک عبارت زیر علامت اول نیاز دارید توابع ساده را به اجزا تقسیم کنیدو تعیین کنید که چه اقداماتی (محصول، جمع، ضریب)این توابع مرتبط هستند. در مرحله بعد، مشتقات توابع ابتدایی را در جدول مشتقات، و فرمول های مشتقات حاصل، مجموع و ضریب را در قوانین تمایز پیدا می کنیم. جدول مشتق و قوانین تمایز پس از دو مثال اول آورده شده است.

مثال 1.مشتق تابع را بیابید

راه حل. از قواعد تمایز در می یابیم که مشتق مجموع توابع، مجموع مشتقات توابع است، یعنی.

از جدول مشتقات در می یابیم که مشتق "x" برابر با یک و مشتق سینوس برابر با کسینوس است. ما این مقادیر را با مجموع مشتقات جایگزین می کنیم و مشتق مورد نیاز شرط مسئله را پیدا می کنیم:

مثال 2.مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما به عنوان مشتق مجموعی که جمله دوم دارای یک عامل ثابت است، آن را از علامت مشتق خارج می کنیم.

اگر هنوز سؤالاتی در مورد اینکه چیزی از کجا آمده است وجود دارد، معمولاً پس از آشنایی با جدول مشتقات و ساده ترین قوانین تمایز، آنها را برطرف می کنند. در حال حاضر به سراغ آنها می رویم.

جدول مشتقات توابع ساده

1. مشتق ثابت (عدد). هر عدد (1، 2، 5، 200...) که در عبارت تابع باشد. همیشه برابر با صفر است. یادآوری این نکته بسیار مهم است، زیرا اغلب اوقات لازم است
2. مشتق متغیر مستقل. اغلب "X". همیشه برابر با یک. این نیز مهم است که برای مدت طولانی به خاطر بسپارید
3. مشتق درجه. هنگام حل مشکلات، باید ریشه های غیر مربع را به توان تبدیل کنید.
4. مشتق یک متغیر به توان -1
5. مشتق از جذر
6. مشتق سینوس
7. مشتق کسینوس
8. مشتق مماس
9. مشتق کوتانژانت
10. مشتق آرکسین
11. مشتق آرکوزین
12. مشتق آرکتانژانت
13. مشتق کوتانژانت قوس
14. مشتق لگاریتم طبیعی
15. مشتق تابع لگاریتمی
16. مشتق از توان
17. مشتق تابع نمایی

قوانین تمایز

1. مشتق جمع یا تفاوت
2. مشتق محصول
2a. مشتق یک عبارت ضرب شده در یک عامل ثابت
3. مشتق از ضریب
4. مشتق تابع مختلط

قانون 1.اگر توابع

در نقطه ای قابل تمایز هستند، سپس توابع در همان نقطه قابل تمایز هستند

و

آن ها مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع.

نتیجه. اگر دو تابع متمایز با یک جمله ثابت تفاوت داشته باشند، مشتقات آنها برابر است، یعنی

قانون 2.اگر توابع

در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس محصول آنها در همان نقطه قابل تمایز است

و

آن ها مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع و مشتق دیگری.

نتیجه 1. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

نتیجه 2. مشتق حاصلضرب چندین تابع متمایز برابر است با مجموع حاصل از مشتق هر عامل و بقیه.

به عنوان مثال، برای سه ضریب:

قانون 3.اگر توابع

قابل تمایز در یک نقطه و , سپس در این مرحله ضریب آنها نیز قابل تمایز استu/v و

آن ها مشتق ضریب دو تابع برابر کسری است که صورت آن تفاضل حاصلضرب مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق مخرج و مخرج آن مجذور است. شمارنده سابق

جایی که در صفحات دیگر چیزها را جستجو کنیم

هنگام یافتن مشتق یک محصول و یک ضریب در مسائل واقعی، همیشه لازم است چندین قانون تمایز را به طور همزمان اعمال کنیم، بنابراین مثال های بیشتری در مورد این مشتقات در مقاله وجود دارد."مشتق حاصلضرب و ضریب توابع".

اظهار نظر.نباید ثابت (یعنی عدد) را به عنوان یک جمله در مجموع و به عنوان یک عامل ثابت اشتباه بگیرید! در مورد جمله مشتق آن برابر با صفر و در مورد عامل ثابت از علامت مشتقات خارج می شود. این یک اشتباه معمولی است که در مرحله اولیه مطالعه مشتقات رخ می دهد، اما از آنجایی که دانش آموز عادی چندین مثال یک و دو قسمتی را حل می کند، دیگر این اشتباه را انجام نمی دهد.

و اگر، هنگام متمایز کردن یک محصول یا ضریب، یک اصطلاح دارید تو"v، که در آن تو- یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، سپس مشتق این عدد برابر با صفر خواهد بود و بنابراین، کل عبارت برابر با صفر خواهد بود (این مورد در مثال 10 مورد بحث قرار گرفته است).

یکی دیگر از اشتباهات رایج حل مکانیکی مشتق یک تابع پیچیده به عنوان مشتق یک تابع ساده است. از همین رو مشتق از یک تابع پیچیدهمقاله جداگانه ای اختصاص داده شده است. اما ابتدا یاد خواهیم گرفت که مشتقات توابع ساده را پیدا کنیم.

در طول مسیر، شما نمی توانید بدون تبدیل عبارات انجام دهید. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد دفترچه راهنما را در پنجره های جدید باز کنید. اقدامات با قدرت و ریشهو عملیات با کسری .

اگر به دنبال راه حلی برای مشتقات کسری با توان و ریشه هستید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس درس «مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه» را دنبال کنید.

اگر وظیفه ای دارید مانند ، سپس درس "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" را خواهید گرفت.

مثال های گام به گام - نحوه پیدا کردن مشتق

مثال 3.مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما بخش‌های عبارت تابع را تعریف می‌کنیم: کل عبارت یک محصول را نشان می‌دهد و فاکتورهای آن مجموع هستند که در دومی یکی از عبارت‌ها شامل یک عامل ثابت است. ما قانون تمایز حاصل را اعمال می کنیم: مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع محصولات هر یک از این توابع توسط مشتق دیگری:

بعد، قاعده تمایز مجموع را اعمال می کنیم: مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع. در مورد ما، در هر جمع جمله دوم یک علامت منفی دارد. در هر جمع هم متغیر مستقلی را می بینیم که مشتق آن برابر با یک است و هم یک عدد ثابت (عددی) که مشتق آن برابر با صفر است. بنابراین، "X" به یک تبدیل می شود و منهای 5 به صفر تبدیل می شود. در عبارت دوم، "x" در 2 ضرب می شود، بنابراین ما دو را در همان واحد مشتق "x" ضرب می کنیم. مقادیر مشتق زیر را بدست می آوریم:

مشتقات یافت شده را با مجموع محصولات جایگزین می کنیم و مشتق کل تابع مورد نیاز شرط مسئله را به دست می آوریم:

مثال 4.مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما باید مشتق ضریب را پیدا کنیم. ما فرمول را برای افتراق ضریب اعمال می کنیم: مشتق ضریب دو تابع برابر با کسری است که صورت آن تفاوت بین حاصلضرب های مخرج و مشتق ممیز و ممیز و مشتق آن است. مخرج، و مخرج مجذور کسر سابق است. ما گرفتیم:

ما قبلاً مشتق فاکتورهای صورت‌گر را در مثال 2 پیدا کرده‌ایم. همچنین فراموش نکنیم که حاصلضرب که دومین عامل در صورت‌گر در مثال فعلی است، با علامت منفی گرفته می‌شود:

اگر به دنبال راه‌حل‌هایی برای مشکلاتی هستید که در آنها باید مشتق یک تابع را پیدا کنید، جایی که انبوهی از ریشه‌ها و قدرت‌ها وجود دارد، مانند، برای مثال، ، سپس به کلاس خوش آمدید "مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه" .

اگر نیاز دارید درباره مشتقات سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و سایر توابع مثلثاتی بیشتر بدانید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس یک درس برای شما "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .

مثال 5.مشتق تابع را بیابید

راه حل. در این تابع محصولی را می بینیم که یکی از عوامل آن جذر متغیر مستقل است که مشتق آن را در جدول مشتقات با آن آشنا کردیم. با استفاده از قانون تمایز حاصلضرب و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

مثال 6.مشتق تابع را بیابید

راه حل. در این تابع ضریبی را می بینیم که سود تقسیمی آن جذر متغیر مستقل است. با استفاده از قانون تمایز ضرایب که در مثال 4 تکرار و اعمال کردیم و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

برای خلاص شدن از کسری در صورت، صورت و مخرج را در ضرب کنید.