Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă: definiții în trigonometrie, exemple, formule. Triunghi dreptunghic

Trigonometria este o ramură a științei matematice care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în Grecia antică. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus contribuții importante la dezvoltarea acestei științe.

Acest articol este dedicat Noțiuni de bazăși definiții ale trigonometriei. Se discută definițiile funcțiilor trigonometrice de bază: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Semnificația lor este explicată și ilustrată în contextul geometriei.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice al căror argument este un unghi au fost exprimate în termeni de raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.

Definiții ale funcțiilor trigonometrice

Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.

Cosinusul unghiului (cos α) - raportul catetei adiacente la ipotenuză.

Tangenta unghiului (t g α) - raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangent unghi (c t g α) - raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Aceste definiții sunt date pentru unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic!

Să dăm o ilustrare.

În triunghiul ABC cu unghi drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul dintre catetul BC și ipotenuza AB.

Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei vă permit să calculați valorile acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor triunghiului.

Important de reținut!

Gama de valori ale sinusului și cosinusului este de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinusul și cosinusul iau valori de la -1 la 1. Gama de valori ale tangentei și cotangentei este întreaga linie numerică, adică aceste funcții pot lua orice valoare.

Definițiile date mai sus se aplică unghiurilor ascuțite. În trigonometrie se introduce conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de unghiul ascuțit, nu este limitată la 0 până la 90 de grade.Unghiul de rotație în grade sau radiani se exprimă prin orice număr real de la - ∞ la + ∞ .

În acest context, putem defini sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi de mărime arbitrară. Să ne imaginăm un cerc unitar cu centrul său la originea sistemului de coordonate carteziene.

Punctul inițial A cu coordonatele (1, 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar printr-un anumit unghi α și merge la punctul A 1. Definiția este dată în termeni de coordonatele punctului A 1 (x, y).

Sinus (sin) al unghiului de rotație

Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sin α = y

Cosinus (cos) al unghiului de rotație

Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) a unghiului de rotație

Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x

Cotangenta (ctg) a unghiului de rotatie

Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata unui punct după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta este nedefinită atunci când un punct după rotație merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) și (0, - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangente. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata unui punct ajunge la zero.

Important de reținut!

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.

Tangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Cotangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Când rezolvați exemple practice, nu spuneți „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că este deja clar din context ceea ce se discută.

Numerele

Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr care este, respectiv, egal cu sinus, cosinus, tangentă și cotangentă în t radian.

De exemplu, sinusul numărului 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să aruncăm o privire mai atentă.

Orice număr real t un punct de pe cercul unitar este asociat cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct.

Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).

Număr pozitiv t

Număr negativ t corespunde punctului la care se va ajunge punctul de plecare dacă se deplasează în jurul cercului în sens invers acelor de ceasornic și trece pe calea t.

Acum că s-a stabilit legătura dintre un număr și un punct dintr-un cerc, trecem la definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Sinusul (păcatul) al lui t

Sinusul unui număr t- ordonata unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t. sin t = y

Cosinus (cos) al lui t

Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x

Tangenta (tg) a lui t

Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t

Cele mai recente definiții sunt în conformitate cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestui paragraf. Punctează pe cercul corespunzător numărului t, coincide cu punctul la care se îndreaptă punctul de plecare după întoarcerea cu un unghi t radian.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corespund unei anumite valori tangente. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Putem spune că sin α, cos α, t g α, c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei anumite valori a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k, k ∈ Z, corespund unei valori tangente. Cotangenta, în mod similar, este definită pentru toate numerele, cu excepția π · k, k ∈ Z.

Funcții de bază ale trigonometriei

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.

De obicei, este clar din context cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.

Să revenim la definițiile date la început și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt în întregime în concordanță cu definițiile geometrice date de raporturile de aspect ale unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.

Luați un cerc unitar cu centrul dreptunghiular Sistemul cartezian coordonate Să rotim punctul de plecare A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să desenăm o perpendiculară pe axa absciselor din punctul rezultat A 1 (x, y). În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y). Lungimea catetului opus unghiului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.

În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Aceasta înseamnă că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Raportul dintre latura opusa fata de ipotenuza se numeste sinusul unui unghi ascutit triunghi dreptunghic.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul catetei adiacente la ipotenuza se numeste cosinusul unui unghi ascuțit triunghi dreptunghic.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre latura opusă și latura adiacentă se numește tangenta unui unghi ascutit triunghi dreptunghic.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangenta unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic

Raportul dintre latura adiacentă și latura opusă se numește cotangenta unui unghi ascutit triunghi dreptunghic.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinusul unui unghi arbitrar

Se numește ordonata unui punct de pe cercul unitar căruia îi corespunde unghiul \alpha sinus unghi arbitrar rotatie \alpha .

\sin \alpha=y

Cosinusul unui unghi arbitrar

Se numește abscisa unui punct de pe cercul unitar căruia îi corespunde unghiul \alpha cosinus al unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta unui unghi arbitrar

Raportul dintre sinusul unui unghi arbitrar de rotație \alpha și cosinusul său se numește tangenta unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangenta unui unghi arbitrar

Raportul dintre cosinusul unui unghi arbitrar de rotație \alpha și sinusul său se numește cotangenta unui unghi arbitrar rotatie \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Un exemplu de găsire a unui unghi arbitrar

Dacă \alpha este un unghi AOM, unde M este un punct al cercului unitar, atunci

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

De exemplu, dacă \angle AOM = -\frac(\pi)(4), atunci: ordonata punctului M este egală cu -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa este egală cu \frac(\sqrt(2))(2) si de aceea

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabelul valorilor sinusurilor cosinusurilor tangentelor cotangentelor

Valorile principalelor unghiuri care apar frecvent sunt date în tabel:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\dreapta)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\dreapta)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\stanga(\pi\dreapta)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\stanga(2\pi\dreapta)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Nivel mediu

Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)

TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.

În probleme, unghiul drept nu este deloc necesar - stânga jos, așa că trebuie să învățați să recunoașteți un triunghi dreptunghic sub această formă,

si in aceasta

si in aceasta

Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine..., în primul rând, există nume deosebite frumoase pentru părțile sale.

Atentie la desen!

Amintiți-vă și nu confundați: sunt două catete și există o singură ipotenuză(una și singura, unică și cea mai lungă)!

Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora.

Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru este că este simplu.

Asa de, Teorema lui Pitagora:

Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?

Să desenăm aceiași pantaloni pitagoreici și să ne uităm la ei.

Nu seamănă cu un fel de pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, sau mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:

"Sumă arii de pătrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata, construit pe ipotenuză."

Chiar sună puțin diferit? Și astfel, când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, aceasta este exact imaginea care a ieșit.

În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a venit cu această glumă despre pantalonii pitagoreici.

De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?

A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?

Vezi tu, în antichitate nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să-și amintească totul în cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm ​​din nou pentru a ne aminti mai bine:

Ar trebui să fie ușor acum:

Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare. Dacă sunteți interesat de modul în care este dovedit, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să mergem mai departe... în pădurea întunecată... a trigonometriei! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

De ce totul este aproape de colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!

1.
De fapt suna cam asa:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică un picior opus (pentru un unghi)? Desigur că au! Acesta este un picior!

Dar unghiul? Priveste cu atentie. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Aceasta înseamnă că pentru unghi piciorul este adiacent și

Acum, fii atent! Uite ce avem:

Vezi ce tare este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum pot scrie asta în cuvinte acum? Care este piciorul în raport cu unghiul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Dar piciorul? Adiacent colțului. Deci ce avem?

Vedeți cum numărătorul și numitorul au schimbat locurile?

Și acum colțurile din nou și au făcut un schimb:

rezumat

Să scriem pe scurt tot ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Principala teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare este teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu este foarte bun, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este foarte posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de inteligent i-am împărțit laturile în lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare? Dreapta, . Dar o zonă mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că i-am luat câte doi și i-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuzele lor. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „tăierilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să convertim:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Și încă o dată toate acestea sub formă de tabletă:

Este foarte confortabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două laturi

II. Prin catenă și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

A)

b)

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Trebuie sa în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele era opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Aruncă o privire la subiectul „și acordă atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, trei dintre elementele lor trebuie să fie egale: două laturi și unghiul dintre ele, două unghiuri și latura dintre ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele de similitudine ale triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. De-a lungul unui unghi ascuțit

II. Pe două laturi

III. Prin catenă și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

În loc de un triunghi dreptunghic, luați în considerare un întreg dreptunghi.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și contrariul este adevărat.

La ce bun se poate obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Priveste cu atentie. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar există un singur punct în triunghi, distanțele de la care toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRU CERCULUI. Deci ce s-a întâmplat?

Deci, să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la și.

Dar triunghiuri similare au toate unghiurile egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce beneficii pot fi obținute din această similitudine „trilă”?

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Trebuie să vă amintiți foarte bine ambele formule și să o utilizați pe cea mai convenabilă. Să le scriem din nou

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: .

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua laturi:
• prin catete și ipotenuză: or
• de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colț ascuțit: sau
• din proporționalitatea a două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă: .

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin picioare:

Sinusul unghiul ascuțit α al unui triunghi dreptunghic este raportul opus picior la ipotenuză.
Se notează astfel: sin α.

Cosinus Unghiul ascuțit α al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Se desemnează astfel: cos α.

Tangentă unghiul ascuțit α este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.
Se desemnează astfel: tg α.

Cotangentă unghiul ascuțit α este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.
Se desemnează astfel: ctg α.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi depind doar de mărimea unghiului.

Reguli:

Identități trigonometrice de bază într-un triunghi dreptunghic:

(α – unghi ascuțit opus piciorului b și adiacent piciorului A . Latură Cu – ipotenuza. β – al doilea unghi acut).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
A cos α = - c	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
b tan α = - A	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
A ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
sin α tg α = -- cos α

Pe măsură ce unghiul ascuțit creștesin α şitan α crește șicos α scade.

Pentru orice unghi ascuțit α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Exemplu-explicație:

Lăsați un triunghi dreptunghic ABC
AB = 6,
BC = 3,
unghi A = 30º.

Să aflăm sinusul unghiului A și cosinusul unghiului B.

Soluție.

1) În primul rând, găsim valoarea unghiului B. Totul este simplu aici: deoarece într-un triunghi dreptunghic suma unghiurilor ascuțite este de 90º, atunci unghiul B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Să calculăm păcatul A. Știm că sinusul este egal cu raportul laturii opuse ipotenuzei. Pentru unghiul A, latura opusă este latura BC. Asa de:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Acum să calculăm cos B. Știm că cosinusul este egal cu raportul catetei adiacente la ipotenuză. Pentru unghiul B, piciorul adiacent este de aceeași latură BC. Aceasta înseamnă că trebuie din nou să împărțim BC la AB - adică să facem aceleași acțiuni ca atunci când calculăm sinusul unghiului A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultatul este:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

De aici rezultă că într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit este egal cu cosinusul altui unghi ascuțit - și invers. Acesta este exact ceea ce înseamnă cele două formule ale noastre:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Să ne asigurăm din nou de asta:

1) Fie α = 60º. Înlocuind valoarea lui α în formula sinusului, obținem:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Fie α = 30º. Înlocuind valoarea lui α în formula cosinus, obținem:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Pentru mai multe informații despre trigonometrie, vezi secțiunea Algebră)

În acest articol vom arăta cum să dăruiești definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi și număr în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notații, vom da exemple de intrări și vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, să facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să vedem cum se formează ideea de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă într-un curs de matematică școlar. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care vorbește despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și număr. Să prezentăm toate aceste definiții, să dăm exemple și să dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul de geometrie cunoaștem definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Să dăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusa fata de ipotenuza.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic– acesta este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Definiție.

Cotangente a unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic- acesta este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Denumirile pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt de asemenea introduse acolo - sin, cos, tg și, respectiv, ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul dintre latura opusă BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentei, cotangent și lungimea uneia dintre laturi pentru a găsi lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este egal cu 3 și ipotenuza AB este egală cu 7, atunci am putea calcula valoarea cosinusului unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Unghi de rotație

În trigonometrie, ei încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Mărimea unghiului de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată la 0 până la 90 de grade; unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt date nu ale unui unghi ascuțit, ci ale unui unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1, către care așa-numitul punct de plecare A(1, 0) merge după rotirea lui cu un unghi α în jurul punctului O - începutul sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1, adică sinα=y.

Definiție.

Cosinusul unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1, adică cosα=x.

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tanα=y/x.

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y.

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata punctului, care se obține prin rotirea punctului de plecare cu unghiul α. Dar tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1), iar acest lucru se întâmplă la unghiurile 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare merge la punctul cu ordonata zero (1, 0) sau (−1, 0), iar acest lucru se întâmplă pentru unghiurile 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), iar cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definițiile includ denumirile deja cunoscute de noi sin, cos, tg și ctg, ele sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unghiului de rotație (uneori puteți găsi denumirile tan și cot corespunzând cu tangente și cotangente) . Deci sinusul unui unghi de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, intrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rad este de obicei notat cos3·π.

În concluzia acestui punct, este de remarcat faptul că atunci când vorbim despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, se folosește de obicei expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurt, „sinus alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus, tangente și cotangente.

Vom spune, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90 de grade. Vom justifica acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul numărului 8·π prin definiție este un număr egal cu cosinusul unghiului de 8·π rad. Și cosinusul unui unghi de 8·π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8·π este egal cu 1.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se asociază un punct de pe cercul unitar cu centrul la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar prin coordonatele acestui punct se determină sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să ne uităm la asta mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește o corespondență între numerele reale și punctele dintr-un cerc:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0);
• numărul pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• numărul negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct de pe cercul A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul numărului t este ordonata punctului de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică sint=y.

Definiție.

Cosinusul numărului t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică cost=x.

Definiție.

Tangenta numărului t este raportul dintre ordonata și abscisa unui punct de pe cercul unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta unui număr t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost.

Definiție.

Cotangente a numărului t este raportul dintre abscisa si ordonata unui punct de pe cercul unitar corespunzator numarului t, adica ctgt=x/y. O altă formulare este aceasta: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t: ctgt=cost/sint.

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în concordanță cu definiția dată la începutul acestui paragraf. Într-adevăr, punctul de pe cercul unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare cu un unghi de t radiani.

Încă merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem intrarea sin3. Cum putem înțelege dacă vorbim despre sinusul numărului 3 sau despre sinusul unghiului de rotație de 3 radiani? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu are o importanță fundamentală.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecărui unghi de rotație α îi corespunde o valoare foarte specifică sinα, precum și valoarea cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) corespund valorilor tgα și alte valori decât 180°k, k∈Z (πk rad ) – valori de ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tanα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

Putem vorbi în mod similar despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori foarte specifice sint, precum și costului. În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k, k∈Z corespund valorilor tgt și numerelor π·k, k∈Z - valori ctgt.

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, este clar din context dacă avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau ale unui argument numeric. În caz contrar, ne putem gândi la variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argument unghiular), cât și ca argument numeric.

Totuși, la școală studiem în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă despre care vorbimîn special despre funcții, este indicat să se considere funcțiile trigonometrice ca funcții ale argumentelor numerice.

Relația dintre definițiile din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α cuprins între 0 și 90 de grade, atunci definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație în contextul trigonometriei sunt pe deplin compatibile cu definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul de geometrie. Să justificăm asta.

Să descriem cercul unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Să marchem punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y). Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opusă unghiului este egală cu ordonata punctului A 1, adică |A 1 H|=y, iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că determinarea sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α atunci când α este de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: manual pentru învăţământul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev etc.]. - Ed. a 20-a. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: manual. pentru clasele 7-9. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - ed. a II-a - M.: Educaţie, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Tutorial pentru elevii clasei a IX-a de liceu / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. M.: Educație, 1969.
4. Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990. - 272 p.: il. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. În 2 părți Partea 1: manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adaug. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I.: Educație, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.