Dependența volumului de consum al unui anumit produs. Lecție practică
Svetunkov S.G.
Punctul de intersecție al curbei cererii cu axa de coordonate caracterizează un anumit volum al cererii, care depinde de venitul consumatorului. Pentru a studia această relație, va trebui să folosesc principalele realizări ale teoriei motivației.
Punctul de intersecție al curbei cererii cu axa volumului este interesant deoarece prețul produsului se dovedește a fi zero. Astfel, caracterizează volumul de mărfuri pe care un cumpărător este de acord să le ia gratuit cu un venit dat - la urma urmei, o unitate de mărfuri nu costă nimic! Desigur, acest volum caracterizează capacitatea cumpărătorului, având în vedere veniturile pe care le are, de a transporta și depozita acest produs, precum și dorința (și nevoia) acestuia de a face acest lucru.
Aceasta înseamnă că acest volum caracterizează limita de utilizare gratuită a produsului, la depășirea căreia utilizatorul suferă inconveniente atât de semnificative încât este gata să le suporte doar contra cost (trecând la partea negativă a valorilor prețului). Prin urmare, voi numi acest volum „volumul limită al consumului”.
Cum se modifică acest consum marginal în funcție de venit? Pe de o parte, în limba rusă această situație a primit o definiție succintă: „Pentru oțet gratuit și dulce” și se pare că această limită nu este definită și se grăbește la infinit, în timp ce venitul însuși se străduiește la infinit. Cu toate acestea, pe de altă parte, este evident că un multimilionar se poate descurca cu ușurință fără „oțet gratuit”, preferându-i alte valori - cel puțin, se va limita la o cantitate mică de oțet, de care are nevoie pentru un consum rațional. . Cu această ofertă, o persoană cu un venit minim este gata să ia cât de mult „oțet gratuit” poate să ia, să transporte și să plaseze.
Astfel, punctul de intersecție al curbei cererii cu axa volumului este o funcție destul de complexă și neliniară a dependenței volumelor marginale ale cererii de venitul cumpărătorului, ceea ce necesită cercetări suplimentare. Permiteți-mi să fac imediat o rezervă că în acest caz mă gândesc la consumatorul final - gospodăria. Acest consumator este caracterizat de toate valorile umane și motivele de comportament.
Dacă venitul unui astfel de consumator este zero, atunci volumul cererii efective ca atare nu există. Cu toate acestea, se poate spune un alt lucru - un consumator cu venituri zero nu are locuință, haine, bani. Este greu de imaginat cum ar lua un consumator gol un produs oferit gratuit. Prin urmare, afirmația că cu venituri zero vor fi zero achiziții mi se pare foarte logică și justificată.
Când apare o sumă minimă de venit, cumpărătorul este capabil să intre mai activ relaţiile marfă-bani. În același timp, aspirațiile cumpărătorului de a lua bunurile necesare gratuit sunt mari și sunt limitate doar de capacitatea cumpărătorului de a face acest lucru - capacitatea de a lua bunurile și de a le depozita undeva.
Cu cât venitul cumpărătorului devine mai mare, cu atât mai mult cumpărătorul are oportunitatea de a lua bunurile pentru o utilizare viitoare - poate folosi deja o plasă, geantă, cărucior, bicicletă, mașină etc. pentru a transporta mărfurile, în funcție de propriul venit.
În acest caz, în funcție de veniturile proprii (și, în consecință, de caracteristicile proprietății sale), el poate depozita bunurile: în interior pe podea, într-o cutie, pe un raft, într-un dulap, într-o cameră, în un garaj etc. Aceasta înseamnă că punctul 1 tinde să crească odată cu creșterea venitului consumatorului.
În același timp, venitul caracterizează gradul de bogăție al unui individ, capacitatea sa de a satisface nevoi din ce în ce mai mari pentru o varietate de bunuri și, prin urmare, dorința și capacitatea sa de a tolera sau nu anumite inconveniente. Este greu de imaginat că o persoană destul de bogată ar alege să locuiască într-o casă frumoasă cu mobilier magnific, care este complet aprovizionată cu brânză gratuită și cu trecerile dintre mobilier blocate de cutiile acestui produs. Pentru un consumator bogat cu un venit foarte mare, este mai ușor să cheltuiască bani pentru achiziționarea și consumarea imediată a unei cantități mici de bunuri decât să suporte inconvenientul depozitării lor pentru utilizare ulterioară, deși este puțin probabil să refuze unele dintre bunurile gratuite.
Astfel, cu venituri nesemnificative ale consumatorului, volumul de consum al unui produs gratuit este limitat de capacitatea consumatorului de a economisi acest produs, iar această secțiune a funcției poate fi caracterizată printr-o dependență crescândă neliniară a volumului marginal de venit, iar a doua derivata acestei dependențe este pozitivă.
Odată cu o creștere ulterioară a veniturilor consumatorului, în ciuda faptului că crește capacitatea de a transporta și depozita produsul gratuit, consumatorul încetează să crească volumele de consum în aceeași măsură ca și în cazul veniturilor mici - inconvenientul pe care acest lucru îl provoacă începe să reducă utilitatea volume mari de produs gratuit. În această parte a dependenței, are și un caracter neliniar, iar derivata sa a doua devine negativă - interesele consumatorului „trec” la satisfacerea altora în ierarhia nevoilor.
Când se atinge un anumit nivel de venit, creșterea sa în continuare nu duce la o creștere a volumului marginal de consum - interesul consumatorului pentru acest produs nu crește. Există suficiente bunuri gratuite din abundență, iar consumatorul începe să înțeleagă că un astfel de volum de bunuri gratuite devine o povară pentru el. Are loc saturația - se consumă volumul maxim de mărfuri. Voi nota acest volum maxim cu Qmax. Aceasta înseamnă că atunci când această limită este atinsă, punctul 1 încetează să se deplaseze de-a lungul axei volumului în direcția creșterii odată cu creșterea venitului consumatorului.
Ce se întâmplă dacă venitul consumatorului crește în continuare? Nevoile consumatorului pentru acest produs sunt satisfăcute complet și cu o marjă mare, iar venitul său din ce în ce mai mare începe să-l concentreze asupra produs nou sau, cel puțin, îi oferă o garanție că, dacă un produs dat, încă gratuit, are un anumit preț diferit de zero, își va putea satisface nevoia de el fără probleme - venitul consumatorului îi permite să aibă încredere în acest lucru. . Stocurile mari de bunuri devin o povară pentru consumator, mai ales că devine posibilă satisfacerea unor nevoi de un nivel superior sau, în cazuri extreme, primirea gratuită a unui produs mai interesant pentru cumpărător. Apoi, volumele de bunuri gratuite consumate încep să scadă. La început, ele scad treptat, odată cu creșterea veniturilor (păcat să nu iei un produs gratuit!), apoi pe o scară din ce în ce mai descrescătoare.
Astfel, atunci când se atinge o anumită valoare a venitului Ctr, interesul cumpărătorului „trece” la un produs nou și volumul de consum gratuit al acestui produs va începe să scadă odată cu venitul care devine mai mare decât acest Ctr. Limita acestei reduceri poate varia - aceasta este determinată de natura produsului, indiferent dacă este un articol de cerere zilnică sau nu.
Deci, dacă un produs are o alternativă (de exemplu, un radio cu tub a avut o alternativă sub forma unui radio cu tranzistor), atunci volumul de consum al acestui produs scade la zero - există o schimbare completă a cererii pentru un produs alternativ. cu proprietăți de consum similare.
Dacă produsul nu are alternativă, cel puțin în viitorul apropiat, de exemplu, cartofii pentru majoritatea rușilor, atunci volumul consumului său cu o creștere suplimentară a venitului consumatorului scade într-o oarecare măsură și se stabilizează în jurul nivelului care ar trebui să fie numită rata rațională de consum Qrat.
Desigur, comportamentul descris mai sus este tipic pentru consumatorul mediu, și nu pentru fiecare individ. Gusturile fiecărui consumator sunt foarte unice – știm că uneori oamenii destul de bogați au înclinații surprinzătoare de a consuma volume de produse complet necaracteristice pentru acest nivel de bogăție. Așadar, cunoșteam bine un doctor în științe rus, care, în ciuda faptului că câștiga bani destul de decent, era totuși angajat în grădinărit activ și, în timpul sezonului, creștea și recolta pe el. zona suburbana cincizeci de saci de cartofi (două tone și jumătate). După cum puteți vedea, în acest caz, volumul consumului de cartofi de către familia sa nu corespunde deloc cu veniturile acesteia și este în afara modelului de mai sus.
Acest exemplu subliniază încă o dată faptul că iau în considerare comportamentul unui consumator mediu. Este clar că, dacă colectăm date statistice despre toți doctorii în științe din Rusia modernă, atunci volumul consumului de cartofi de către familia unui doctor mediu în științe va fi semnificativ mai mic de două tone și jumătate pe an. Pentru un astfel de consumator tipic, odată cu creșterea veniturilor sale, volumele marginale ale consumului de cartofi după ce consumatorul atinge un anumit nivel de venit încep să scadă.
Graficul din Figura 1 arată schematic dependența neliniară descrisă mai sus a volumului marginal de consum Q pentru un anumit produs de valoarea venitului C al cumpărătorului la un preț zero pentru acest produs. Pe grafic, fiecare punct situat pe curba volumului limită corespunde unor puncte similare cu punctul 1 din graficul curbelor cererii din figura 3, adică situat pe axa ordonatelor pentru care abscisa (prețul) este o valoare constantă și egală. la zero.
Considerațiile de mai sus, așa cum am menționat deja, sunt foarte abstracte - este greu de imaginat că orice produs ar fi distribuit gratuit și chiar în cantități nelimitate.
Figura 1. Curba dependenței volumului marginal al consumului Q de valoarea venitului C
Prin urmare, pentru un cititor pretențios, toate considerentele de mai sus pot părea insuficient fundamentate și lipsite de orice semnificație economică. Acest neajuns poate fi bine eliminat. Raționamente similare vor părea rezonabile unui astfel de cititor dacă sunt efectuate cu condiția precizării unui preț fix, suficient de mic, nu egal cu zero. Dar, de fapt, această procedură poate fi formalizată cu ușurință în aceeași formulare grafică care tocmai a fost folosită. În acest caz, se va obține aceeași dependență.
Figura 2. Graficul inițial al curbelor cererii și ofertei supuse stabilirii unui preț fix P0
Într-adevăr, grafic pe planul volum-preț, trecerea la prețuri diferite de zero înseamnă mutarea axei y (volumul) la dreapta cu o sumă egală cu un preț fix P0. Această procedură este prezentată în graficul din Figura 2, care prezintă curbele cererii. Punctul 1 cu această mișcare a axei ordonatelor se deplasează în jos spre dreapta și este notat în figură cu 1". Raționamentul dat mai sus pentru cazul unui produs liber va fi pe deplin confirmat în acest caz. Doar unele proporții se vor schimba. Pentru de exemplu, după cum este evident din Figura 2, pentru fiecare sumă de venit, volumul de consum al produsului va scădea în comparație cu opțiunea de a-l oferi gratuit.
Diferența fundamentală dintre comportamentul volumului de consum al unui bun la un preț fix diferit de zero în funcție de comportamentul volumului marginal de consum al unui bun la preț zero este aceea că pentru unele bunuri care nu sunt articole ale cererii cotidiene , dependența volumului consumului de venitul consumatorului nu începe din punctul de origine (Figura 3).
Într-adevăr, dacă produsul în cauză nu este un produs al cererii cotidiene, atunci acesta este achiziționat numai după ce nevoile cererii cotidiene sunt satisfăcute și cumpărătorul are posibilitatea de a realiza nevoia acestui produs prin creșterea veniturilor proprii. Prin urmare, curba dependenței volumului de consum al unui produs de venitul consumatorului în acest caz va începe de la un punct ale cărui coordonate sunt caracterizate de următoarele:
Venitul consumatorului este pozitiv și nu mai mic decât prețul fix al produsului (Cmin > P0),
Volumul bunurilor achiziționate este zero (Q0 = 0).
Figura 3. Curba dependenței volumului consumului Q de valoarea venitului C pentru un preț al produsului diferit de zero
Din graficele din figurile 1 și 3, care descriu un tip și natura dependenței, urmează o serie de întrebări destul de evidente la care ar trebui să se răspundă:
Cât de asemănătoare sunt cele două grafice indicate între ele și care sunt diferențele lor fundamentale, cum sunt ele interconectate;
Cum se va comporta curba dependenței volumului consumului Q de valoarea venitului C cu o creștere suplimentară a prețului;
Cum se va comporta valoarea volumului maxim de consum Qmax și volumul consumului rațional Qrat atunci când prețul produsului crește?
Posibil diverse opțiuni raspunsuri la intrebarile puse in functie de ce produs este oferit cumparatorului. Există afirmații care sunt destul de evidente și nu necesită nicio dovadă specială. Odată cu o creștere a prețului unui produs, curba în sine se va deplasa în mod evident spre dreapta - este nevoie de tot mai mult venit pentru a cumpăra un anumit volum de mărfuri la un preț crescut.
În ceea ce privește rata de consum rațională a Qrat-ului, totul aici este destul de evident. Această valoare nu se va schimba, deoarece nu caracterizează puterea de cumpărare, ci nevoile raționale, atunci când venitul cumpărătorului este atât de mare încât s-ar putea să nu acorde prea multă atenție prețului unui anumit produs; din punctul de vedere al venitului său, este aproape egal cu zero.
După cum sa menționat deja, curba în sine se va deplasa spre dreapta cu o creștere a prețului produsului. Această schimbare poate fi sau nu paralelă.
Primul caz este destul de simplu (Figura 4) și, aparent, caracterizează produsul care se numește „articol de zi cu zi”. Pentru un astfel de produs este dificil să presupunem altceva - toate ordonatele caracteristice ale curbei rămân neschimbate.
Figura 4. Mișcarea curbei în funcție de volumul consumului Q asupra cantității de venit C cu creșterea prețului bunurilor de larg consum
De exemplu, volumul maxim de consum, care caracterizează un anumit consum de urgență, rămâne și el neschimbat. Într-adevăr, acest volum este complet determinat de doi factori - prețul dat al produsului și venitul Ctr la care interesul cumpărătorului „trece” la un produs nou. Odată cu creșterea prețului unui produs, acest venit, care caracterizează „schimbarea”, crește și cu valoarea acestui produs.
Dar dacă produsul nu este un articol al cererii zilnice (Figura 5), atunci prețul său începe să influențeze comportamentul consumatorului. Deci, de exemplu, dacă-mi oferi gratuit trabucuri Havana cele mai bune soiuri, atunci eu, nefumător, probabil că voi mai lua o anumită cantitate din ele - pentru a-mi trata prietenii fumători sau în scopul obținerii unei infuzii de apă care distruge dăunătorii de grădină din țară.
Dacă acest produs îmi este oferit pe bani, atunci la un preț mic pentru aceste trabucuri, probabil că voi cumpăra totuși o anumită cantitate din ele, dar într-un volum mai mic.
Dacă prețul trabucurilor crește și mai mult, atunci indiferent de venitul meu propriu, oricât de mare ar fi acesta, nu le voi cumpăra - am unde să cheltuiesc bani, am interese și nevoi care ar trebui satisfăcute.
Un astfel de comportament, după cum îndrăznesc să cred, nu este deloc o trăsătură a caracterului meu. Marea majoritate va face la fel oameni normali.
Grafic, acest comportament înseamnă că pe măsură ce prețul unui produs crește, volumul maxim al consumului acestuia va scădea (Figura 5). De asemenea, unele proporții ale curbei în sine se vor schimba.
Figura 5. Mișcarea curbei dependenței volumului consumului Q de valoarea venitului C cu o creștere a prețului unui produs care nu este un articol esențial
Când prețul crește până la o anumită limită, curba se va transforma într-un punct situat pe axa x. Astfel, sunt posibile două tipuri de curbe în funcție de volumul consumului asupra venitului consumatorului cu un preț în schimbare - pentru bunurile de cerere de zi cu zi și pentru bunurile care nu sunt astfel. Această împrejurare ar trebui luată în considerare mai detaliat, iar în paragrafele următoare ale lucrării mă voi concentra asupra acestor două bunuri. Cu regret, pot afirma că nu există o definiție clară a conceptului<товар повседневного спроса>Nu l-am văzut în literatura științifică. Se pare că ar trebui să fie axiomatic. Această circumstanță nefericită vă va împiedica în mare măsură să primiți recomandări specifice în părțile ulterioare ale cărții. Deocamdată, trebuie să împărțim produsul în aceste două grupuri doar pe baza propriilor idei despre produs.
EXPLICAȚII METODOLOGICE
Mai jos sunt exemple de solutie sarcini și exerciții tipice
Tema 1. Sistemul relaţiilor macroeconomice
Problema 26. Pe baza datelor prezentate în tabel, determinați:
1) PNB după venit;
2) PNB după cheltuieli;
5) venitul national.
Soluţie
1 Determinăm PNB după venit. Include amortizarea, impozitele indirecte pe afaceri, salariile angajați, dividende, dobânzi, venituri din investiții individuale, chirii, profit reportat, impozite pe profit, chirii:
PNB după venit = 1.010 + 786 + 5.810 + 196 + 290 + 158 + 40 + 650 + 784 = 9.724 milioane USD.
2 Determinați PNB pe baza cheltuielilor:
PNB după cheltuieli = C + Ig + Xn + G,
unde C este cheltuielile personale ale consumatorilor;
Ig – investiții private interne brute;
G – achiziții publice de bunuri și servicii;
Xn este export net.
PNB după cheltuieli = 6.452 + 1.530 – 186 + 1.928 = 9.724 milioane de dolari.
PNB din punct de vedere al cheltuielilor trebuie să fie egal cu PNB din punct de vedere al veniturilor.
3 Definiți PIB:
PIB = PNB – Хn = 9.724 + 186 = 9.910 milioane de dolari.
4 Să determinăm NNP:
NNP = PIB – A = 9.910 – 1.010 = 8.900 milioane de dolari.
unde A este deprecierea.
5 Să determinăm venitul național:
ND = NNP - impozite indirecte pe afaceri,
ND = 8.900 – 786 = 8.114 milioane de dolari.
Problema 27. PNB este egal cu 9.000 den. unitati, cheltuieli consumatorului – 5.200 den. unități, cheltuieli guvernamentale – 1.900 den. unități, iar exporturile nete – 180 den. unitati Calculati:
1) valoarea investiției brute;
2) NNP, dacă valoarea deprecierii este de 850 den. unități;
Dacă exporturile nete sunt pozitive în acest exemplu, poate fi negativ? In care caz?
Soluţie
1 PNB după rasă = C + Ig + G + Xn,
unde C este cheltuielile de consum;
Ig - investitie bruta;
G - cheltuieli guvernamentale;
Xn este export net.
Ig = PNB – C – G – Xn,
Ig = 9000 – 5200 – 1900 – 180 = 1820;
2 NNP = PNB – A,
NNP = 9000 – 850 = 8150.
3 Dacă importurile sunt mai mari decât exporturile.
Tema 2. Consum, economisire, investiții
Problema 14. Economia se caracterizează prin următoarele date:
a) funcţia de consum C = Ca + MPC Y;
b) investitii autonome ale unitatilor Ia;
c) achiziții publice de unități G;
d) cota marginală de impozitare t;
e) plăți de transfer TR.
Capacitățile de producție existente fac posibilă creșterea venitului național de 1,25 ori. Cum ar trebui guvernul să-și schimbe achizițiile pentru a asigura utilizarea deplină a capacității în timp ce echilibrează bugetul guvernului? Care ar putea fi modificarea plăților de transfer?
Soluţie
Să determinăm nivelul de echilibru al venitului:
m =1/(1– mpc (1– t)) = 1/(1 – 0,55· (1 – 0,1)) = 1,98;
A = Ca + G + Ia +TR mpc,
A = 50 + 100 + 400 + 200 · 0,55 = 660;
Y = 1,98 660 = 1.306,8.
Să determinăm modificarea volumului de echilibru al producției:
Y2 = 1,25 · 1.306,8 = 1.633,5.
Să stabilim cât de mult ar trebui să se schimbe achizițiile publice:
DY = 1.633,5 – 1.306,8 = 326,7;
DG = 326,7/1,98 = 165.
Să stabilim cu ce sumă ar trebui să se modifice plățile de transfer:
DTR mpc = 165;
DTR = 165/0,55 = 300.
Problema 16. Dacă funcția de economisire este descrisă prin formula S = –30+0,1Y, iar investiția autonomă este 125, atunci care va fi nivelul de echilibru al venitului național?
Soluţie
La nivelul de echilibru al venitului național, suma investiției autonome este egală cu economisirea.
Atunci I = S,
125 = – 30 + 0,1 y,
Y este egal cu 1.550.
Răspuns: nivelul de echilibru al venitului national 1.550.
Problema 17. Funcția de consum este dată de formula C = 100 + 0,2 Y.
1) construiți un program de consum;
2) construiți un program de economii;
3) determinarea volumului de echilibru al venitului naţional;
4) determinați valoarea multiplicatorului de cheltuieli, cu condiția ca venitul să fie 0; 200; 400; 600; 800.
Soluţie
Să construim un tabel:
1 Folosind datele din tabel, construim un program de consum:
Să calculăm analitic venitul de echilibru.
Să echivalăm cu Y = C, apoi Y = 100 + 0,2Y.
2 Folosind datele din tabel, construim un program de economii:
 |
Înclinația marginală de a economisi este:
MPS = 1 – MPC = 1– 0,2 = 0,8.
Atunci valoarea multiplicatorului μ este egală cu:
.
Subiect. Metode de algebră liniară în analiza economică.
Ţintă. Rezolvarea problemelor economice cu elemente de modelare pe baza cadrului de bază al algebrei liniare.
1. Material de referință.
Conceptul de matrice este adesea folosit în activități practice, de exemplu, date privind producția mai multor tipuri de produse în fiecare trimestru al anului sau ratele de cost ale mai multor tipuri de resurse pentru producerea mai multor tipuri de produse, etc. Este convenabil să-l scrieți sub formă de matrice.
Sarcina 1.În unele industrii, m fabrici produc n tipuri de produse. Matricea stabilește volumele de producție la fiecare fabrică în primul trimestru, matricea - în mod corespunzător în al doilea; (a ij, în ij) - volume de produse de tipul j la i-a fabrică în trimestrul 1 și respectiv 2:
a) volumele de producție;
b) o creștere a volumelor de producție în trimestrul II față de primul pe tipuri de produse și plante;
c) expresia valorii a produselor fabricate timp de șase luni (în dolari), dacă l este cursul de schimb al dolarului în raport cu rubla.
Soluţie:
a) Volumele de producție pentru semestru sunt determinate de suma matricelor, i.e. C=A+B=, unde c ij este volumul de produse de al-lea tip produs de i-a instalație pe parcursul celor șase luni.
b) Creșterea din trimestrul II față de primul este determinată de diferența de matrice, i.e.
D=B-A= . Elementele negative arată că volumul de producție la această fabrică a scăzut, elementele pozitive au crescut și zero elemente nu s-au schimbat.
c) Produsul lC = l(A+B) dă o expresie pentru costul volumelor de producție pentru trimestrul în dolari pentru fiecare fabrică și fiecare întreprindere.
Sarcina 2. O întreprindere produce n tipuri de produse folosind m tipuri de resurse. Ratele de cost ale resursei produsului i-lea pentru producerea unei unități de produs de tipul j-lea sunt specificate de matricea costurilor. Lăsați întreprinderea să producă cantitatea fiecărui tip de produs înregistrată în matrice pe o anumită perioadă de timp.
Determinați S - matricea costurilor totale ale resurselor de fiecare tip pentru producerea tuturor produselor pentru o anumită perioadă de timp, dacă
, . Soluţie. Matricea costurilor totale de resurse S este definită ca un produs al matricelor, adică. S=AX.
Adică, într-o anumită perioadă de timp, se vor consuma 930 de unități. resursă de tipul I, 960 unități. resursă de tipul 2, 450 unități. resursă de tipul 3, 630 unități. resursă de al 4-lea tip.
Sarcina 3. Fabrica produce motoare care pot necesita imediat o ajustare suplimentară (în 40% din cazuri) sau pot fi utilizate imediat (în 60% din cazuri). După cum arată studiile statistice, acele motoare care au necesitat inițial ajustări vor necesita ajustări suplimentare după o lună în 65% din cazuri, iar în 35% din cazuri vor funcționa bine după o lună. Aceleași motoare care nu au necesitat ajustarea inițială o vor necesita după o lună în 20% din cazuri și vor continua să funcționeze bine în 80% din cazuri. Care este procentul de motoare care vor funcționa bine sau vor necesita reglaj la 2 luni de la lansare? In 3 luni?
Soluţie.
În momentul eliberării cotei motoare bune este 0,6, iar proporția care necesită ajustare este 0,4. Într-o lună, ponderea celor bune va fi: 0,6. 0,8+0,4. 0,35=0,62. Proporția care necesită ajustare: 0,6. 0,2+0,4. 0,65=0,38. introduceți linia de stare X t în momentul t; X t =(x 1t; x 2t), unde x 1t este ponderea motoarelor bune, x 2t este ponderea motoarelor care necesită ajustare la momentul t.
Matricea de tranziție, unde este proporția motoarelor care sunt în prezent în stare bună (1- „bine”, 2- „necesită ajustare”), iar după o lună - în stare bună.
Evident, pentru matricea de tranziție, suma elementelor fiecărui rând este egală cu 1, toate elementele sunt nenegative.
Evident =(0,6 0,4), .
Apoi, într-o lună,
2 luni mai tarziu; peste 3 luni.
Să găsim matricele;
Rețineți că dacă este o matrice de tranziție, atunci este și o matrice de tranziție pentru orice t natural. Acum
Evident, .
Sarcina 3. Compania este formată din două sucursale, al căror profit total s-a ridicat anul trecut la 12 milioane de unități convenționale. unitati Anul acesta este planificată creșterea profitului primei sucursale cu 70%, a doua - cu 40%. Ca urmare, profitul total ar trebui să crească de 1,5 ori. Care este cuantumul profitului fiecăruia dintre departamente: a) anul trecut; b) anul acesta?
Soluţie.
Să fie profiturile primei și celei de-a doua ramuri de anul trecut. atunci condiția problemei poate fi scrisă sub forma unui sistem: După ce am rezolvat sistemul, obținem Investigator, a) profit în anul trecut al primului departament -4 milioane de unități convenționale. unități, iar al doilea - 8 milioane de unități convenționale. unități; b) profitul în acest an al primului departament este de 1,7. 4=6,8 milioane de unități convenționale unități, secunde 1.4. 8=11,2 milioane de unități convenționale unitati
2.1. Trei fabrici produc patru tipuri de produse. Este necesar: a) să se afle matricea producției de produs pentru trimestrul, dacă sunt date matricele producțiilor lunare A 1, A 2, A 3; b) găsiți matricele de creștere a producției pentru fiecare lună B 1 și B 2 și analizați rezultatele:
2.2. Firma produce mobilier trei tipuriși îl vinde către patru regiuni. Matricea precizează prețul de vânzare al unei unități de mobilier de tipul i-a în j-a regiune. Determinați veniturile întreprinderii în fiecare regiune dacă vânzările de mobilă pentru luna sunt date de matrice.
2.3. Conform condițiilor sarcinii 2, se determină: 1) costurile totale ale resurselor de 3 tipuri pentru producția de produse lunare, dacă ratele de cost sunt specificate de matrice și volumul de producție al fiecăruia dintre cele două tipuri de produse;
2) costul tuturor resurselor cheltuite, dacă este dat costul unităților fiecărei resurse.
2.4 . Atelierul primește telefoane, dintre care 70% necesită reparații minore, 20% - reparații medii, 10% - reparații complexe. S-a stabilit statistic că 10% dintre dispozitivele care au suferit reparații minore necesită reparații minore după un an, 60% necesită reparații medii și 30% necesită reparații complexe. Dintre dispozitivele care au suferit reparații medii, 20% necesită reparații minore după un an, 50% necesită reparații medii, iar 30% necesită reparații complexe. Dintre aparatele care au suferit reparații complexe, după un an, 60% necesită reparații minore, 40% necesită reparații medii. Aflați ponderea aparatelor reparate la începutul anului care vor necesita reparații de un fel sau altul: după 1 an; 2 ani; 3 ani.
Lecție practică.
Subiect. Metode de analiză matematică pentru construirea modelelor SEP.
Ţintă. Rezolvarea problemelor economice cu elemente de modelare folosind metode de analiză matematică.
1. Material de referință.
Funcțiile sunt utilizate pe scară largă în teorie economicăși practică. Gama de funcții utilizate în economie este foarte largă: de la cele mai simple liniare până la funcții obținute după un algoritm specific folosind relații recurente care leagă stările obiectelor studiate în perioade diferite timp.
Cele mai frecvent utilizate funcții în economie sunt următoarele:
1. Funcția de utilitate (funcția de preferință) - dependența rezultatului, efectul unei acțiuni asupra nivelului (intensității) acestei acțiuni.
2. Funcția de producție - dependența rezultatului activității de producție de factorii care l-au determinat.
3. Funcția de ieșire - dependența volumului producției de disponibilitatea sau consumul de resurse.
4. Funcția de cost - dependența costurilor de producție de volumul producției.
5. Funcțiile cererii, consumului și ofertei - dependența volumului cererii, consumului sau ofertei pentru bunuri sau servicii individuale de diverși factori (de exemplu, preț, venit etc.).
Având în vedere că fenomenele și procesele economice sunt determinate de acțiunea diverșilor factori, funcțiile mai multor variabile sunt utilizate pe scară largă pentru studierea acestora. Dintre aceste funcții se disting funcțiile multiplicative, care fac posibilă reprezentarea variabilei dependente ca produs de variabile factori, transformându-l la zero în absența acțiunii a cel puțin unui factor.
Se folosesc, de asemenea, funcții separabile, care permit izolarea influenței diverșilor factori variabili asupra variabilei dependente și, în special, funcții aditive care reprezintă aceeași variabilă dependentă atât sub influența totală, dar separată, a mai multor factori, cât și sub simultana lor. influență.
Pe lângă semnificația geometrică și mecanică, există și un sens economic al derivatului. În primul rând, derivata volumului producției în raport cu timpul este productivitatea muncii în acest moment. În al doilea rând, există un alt concept care caracterizează semnificația economică a unui derivat. Dacă costurile de producţie y considerată în funcţie de cantitatea producţiei X, - creșterea producției, - creșterea costurilor de producție și - creșterea medie a costurilor de producție pe unitatea de producție, atunci derivata egală exprimă costul marginal producție și caracterizează aproximativ costurile suplimentare de producere a unei unități de produse suplimentare.
Costurile marginale depind de nivelul de producție (cantitatea de producție) Xși nu sunt determinate de constante costurile productiei, ci doar variabile (pentru materii prime, combustibil etc.). În mod similar, se pot determina venitul marginal, venitul marginal, produsul marginal, utilitatea marginală și alte valori marginale.
Valorile limită nu caracterizează o stare, ci un proces, adică o schimbare a unui obiect economic. Astfel, derivatul acționează ca rata de schimbare a unui obiect economic (proces) în timp sau relativ la un alt factor studiat. Trebuie avut în vedere faptul că economia nu permite întotdeauna utilizarea valorilor limită din cauza indivizibilității multor obiecte ale calculelor economice și a discontinuității (discretității) indicatorilor economici în timp (de exemplu, anual, trimestrial, lunar, etc.). În același timp, într-un număr de cazuri este posibil să se ignore caracterul discret al indicatorilor și efectiv valorile limită.
Pentru a studia procesele economice și a rezolva probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a unei funcții.
Elasticitatea unei funcții este limita raportului incrementului relativ al unei funcții y la incrementul relativ al variabilei X la:
Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția y=f(x) când variabila independentă se modifică X cu 1%. Aceasta este o măsură a răspunsului unei variabile la o schimbare în alta.
Să notăm proprietățile de elasticitate ale funcției.
1. Elasticitatea unei funcții este egală cu produsul variabilei independente X asupra ratei de schimbare a funcției, adică .
2. Elasticitatea produsului (coeficientului) a două funcții este egală cu suma (diferența) elasticităților acestor funcții: , .
Elasticitatea funcțiilor este utilizată în analiza cererii și consumului. De exemplu, elasticitatea cererii y referitor la pret X- coeficient determinat prin formula (1) și care arată aproximativ cu ce procent se va modifica cererea (volumul de consum) atunci când prețul (sau venitul) se modifică cu 1%.
Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută), atunci cererea este considerată elastică, dacă - neutră, dacă - inelastică în raport cu prețul (sau venitul).
În activitățile practice, se întâlnesc adesea probleme care pot fi rezolvate rațional prin metode de analiză matematică. Acestea sunt probleme de găsire a volumului producției cu o valoare cunoscută a profitului, determinarea nivelului de consum al bunurilor cu un venit cunoscut, determinarea punctului în timp al rentabilității producției, determinarea mărimii contribuției cu investiții inițiale cunoscute etc.
Sarcina 1. Costurile y (în ruble) pentru producția unui lot de piese sunt determinate de formula, unde este volumul lotului. Pentru prima varianta proces tehnologic. Pentru a doua variantă, se știe că (frec.) la (det.) și (frec.) la (det.). Evaluați două opțiuni de proces tehnologic și găsiți costul de producție pentru ambele opțiuni la (detalii)
Soluţie.
Pentru a doua opțiune, determinăm parametrii și din sistemul de ecuații:
de unde si, i.e. .
Punctul (x 0 ,y 0) de intersecție a două drepte se găsește din sistemul de ecuații ale acestora:
de unde, .Evident, cu volumul lotului, a doua varianta a procesului tehnologic este mai profitabila, cu prima varianta. Costul de producție (ruble) pentru prima opțiune este, iar pentru a doua - .
Sarcina 2. Costurile fixe se ridică la 125 mii de ruble. pe lună și costuri variabile - 700 de ruble. pentru fiecare unitate de producție. Preț unitar 1200 ruble. Aflați volumul producției la care profitul este egal cu: a) zero (pragul de rentabilitate); b) 105 mii de ruble. pe luna.
Soluţie:
a) Costurile de producție ale unităților de producție vor fi: (mii de ruble). Venituri totale (venituri) din vânzarea acestor produse și profit (mii de ruble). Punctul de rentabilitate la care este egal cu (unități).
b) Profit (mii de ruble), i.e. la (unități).
Sarcina 3. Durata de execuție (min.) pentru operațiuni repetate este legată de numărul acestor operații printr-o dependență. Calculați câte minute durează lucrul pentru 50 de operații, dacă se știe că la, și la.
Soluţie. Să găsim parametrii și, ținând cont de asta, . Obținem sistemul: rezolvarea pe care o găsim, .
Deci, la, (min.)
Sarcina 4. Volumul de producție u produs de o echipă de muncitori poate fi descris prin ecuația (unități), unde t- timpul de lucru în ore. Calculați productivitatea muncii, viteza și viteza modificării acesteia la o oră după începerea lucrului și cu o oră înainte de încheierea acestuia.
Soluţie. Productivitatea muncii este exprimată ca derivat (unități/oră), iar viteza și rata de schimbare a productivității sunt derivata și, respectiv, derivata logaritmică: (unități/oră 2),
La momente date de timp și, în consecință, avem: z(t)=112,5 (unități/oră), z"(t)=-20(unități/oră 2), T z (7)=-0,24 (unități/ ora).
Deci, până la sfârșitul muncii, productivitatea muncii scade semnificativ; în același timp, o modificare a semnului lui z"(t) și T z (t) de la plus la minus indică faptul că creșterea productivității muncii în primele ore ale zilei de muncă este înlocuită cu scăderea acesteia în ultimele ore. .
Sarcina 5. Funcţiile cererii şi ofertei au fost stabilite empiric, unde qȘi s- cantitatea de bunuri achiziționate și, respectiv, oferite spre vânzare pe unitatea de timp, p-pretul produsului.
Aflați: a) prețul de echilibru, adică prețul la care cererea este egală cu oferta;
b) elasticitatea cererii și ofertei pentru acest preț;
c) modificarea venitului atunci când prețul crește cu 5% față de prețul de echilibru.
Soluţie. a) Pretul de echilibru se gaseste din conditie q=s, apoi de unde p= 2, adică prețul de echilibru este de 2 unități monetare.
b) Să găsim elasticitatea cererii și ofertei folosind formula (1)
; . Pentru prețul de echilibru p=2 avem; . Deoarece valorile obținute ale elasticității în valoare absolută sunt mai mici de 1, atunci atât cererea, cât și oferta acestui produs la prețul de echilibru (piață) sunt inelastice în raport cu prețul. Aceasta înseamnă că o modificare a prețului nu va duce la o schimbare bruscă a cererii și ofertei. Deci, cu o creștere a prețului p cu 1%, cererea va scădea cu 0,3%, iar oferta va crește cu 0,8%.
c) Când preţul creşte p cu 5% din cererea de echilibru va scădea cu 5. 0,3=1,5%, prin urmare, veniturile vor crește cu 3,5%.
Sarcina 6. Relația dintre costurile de producție yși volumul produselor X exprimată printr-o funcție (unități denumite). Determinați costurile medii și marginale pentru un volum de producție de 10 unități.
Soluţie. Funcția costului mediu este exprimată prin raport; la x= 10 costurile medii (pe unitate de producţie) sunt egale cu (den. unităţi). Funcția cost marginal este exprimată prin derivata ei; la x= 10 costuri marginale vor fi (unități monetare). Deci, dacă costul mediu de producere a unei unități de producție este de 45 de unități monetare, atunci costul marginal, adică. costurile suplimentare pentru producerea unei unități suplimentare de producție la un anumit nivel de producție (volum de producție 10 unități) se ridică la 35 de unități monetare.
Sarcina 7. Aflați care sunt costurile totale marginale și medii ale unei întreprinderi dacă elasticitatea costurilor totale este egală cu 1?
Soluţie. Lăsați costurile totale ale întreprinderii y sunt exprimate printr-o funcție, unde X- volumul produselor produse. Apoi costul mediu y 1 pe unitate de producție. Elasticitatea coeficientului a două funcții este egală cu diferența de elasticități ale acestora, i.e. .
Prin condiție, așadar, . Aceasta înseamnă că, odată cu o modificare a volumului de producție, costul mediu pe unitate de producție nu se modifică, adică unde.
Costul marginal al unei întreprinderi este determinat de instrumentul derivat. Deci, adică costurile marginale sunt egale cu costurile medii (afirmația rezultată este valabilă numai pentru funcțiile de cost liniar).
2. Sarcini pentru muncă independentă.
2.1. Costurile de transport pe două moduri de transport sunt exprimate prin ecuații: și, unde sunt distanțele în sute de kilometri, sunt costurile de transport. De la ce distanță al doilea mod de transport este mai economic?
2.2. Știind că modificarea volumului producției cu o modificare a productivității muncii are loc în linie dreaptă, creați ecuația acesteia dacă la =3 =185 și la =5 =305. Determinați volumul producției la =20.
2.3 . Compania a cumpărat o mașină în valoare de 150 de mii de ruble. Rata anuală de amortizare este de 9%. Presupunând că dependența de timp a costului mașinii este liniară, găsiți costul mașinii în 4,5 ani.
2.4. Dependenţa nivelului de consum al unui anumit tip de bunuri de nivelul venitului familiei se exprimă prin formula: . Aflați nivelul consumului de bunuri la un nivel de venit al familiei de 158 de unități monetare. Se știe că atunci când =50 =0; =74 =0,8; =326 =2,3.
2.5. Banca plătește anual 5% pe an (dobândă compusă). Determinați: a) suma depozitului după 3 ani, dacă depozitul inițial a fost de 10 mii de ruble; b) suma depozitului inițial, la care după 4 ani depozitul (împreună cu banii de dobândă) va fi de 10.000 de ruble.
Notă. Mărimea contribuției după t ani este determinată de formula, unde p-rata dobânzii pe an, Q 0 -contribuția inițială.
2.6. Costurile de producție (mii de ruble) sunt exprimate prin ecuație, unde este numărul de luni. Venitul din vânzările de produse este exprimat prin ecuație. Din ce lună va fi profitabilă producția?
2.7. Relația dintre costul unitar de producție y(mii de ruble) și producția de produse X(miliard de ruble) se exprimă prin funcție. Găsiți elasticitatea costurilor pentru o producție egală cu 60 de miliarde de ruble.
Lecție practică.
Subiect. Analiza limita a proceselor economice.
Ţintă. Luați în considerare aplicarea metode matematice pentru găsirea valorilor limită în probleme de optimizare.
1. Material de referință.
Funcția de cost C(x) determină costurile necesare producţiei X unități ale acestui produs. Profit unde D(x)- venituri din productie X unități de produs.
Costuri medii Topor) in productie X unităţile de produs sunt.Costul marginal.
Valoare optimă eliberarea pentru producător este valoarea X unități de produs la care profit P(x) se dovedește a fi cel mai mare.
Sarcina 1. Funcția de cost are forma. Pe stadiul inițial Firma organizează producția pentru a minimiza costurile medii Topor). Ulterior, prețul pentru produs este stabilit la 4 unități convenționale. pentru o unitate. Cu câte unități ar trebui firma să crească producția?
Soluţie. Costurile medii iau o valoare minimă când X=10. Costuri marginale. La un preț stabil, valoarea optimă P(x) producția este dată de condiția de maximizare a profitului: , i.e. 4= M(x), Unde. Prin urmare, producția ar trebui să crească cu 10 unități.
Sarcina 2. Determinați valoarea optimă de ieșire pentru producător X 0 , cu condiția ca toate bunurile să fie vândute la un preț fix pe unitate p=14 , dacă se cunoaște tipul funcției de cost.
Soluţie. Folosind formula profitului obținem, .
Găsim derivata profitului după volum: , atunci X angro = 2.
Sarcina 3. Găsiți profitul maxim pe care îl poate obține o companie producătoare, cu condiția ca toate bunurile să fie vândute la un preț fix pe unitate R=10,5 iar funcția de cost are forma.
Soluţie. Aflați valoarea profitului.
Derivata profitului in volum are forma: . Apoi, . .
2. Sarcini pentru muncă independentă.
2.1 Determinați valoarea optimă de producție x0 pentru producător, cu condiția ca toate bunurile să fie vândute la un preț fix pe unitate p=8 și tipul funcției de cost să fie cunoscut.
2.2 Găsiți profitul maxim pe care îl poate obține o companie producătoare, cu condiția ca toate bunurile să fie vândute la un preț fix pe unitate p=40 și forma funcției de cost este cunoscută.
2.3 Când este produs de un monopol X unități de mărfuri pe unitate. Determinați valoarea optimă de producție pentru monopol X 0 (se presupune că toate bunurile produse sunt vândute), dacă costurile au forma.
2.4 Funcția de cost are forma. Venitul din vânzarea unei unități de producție este de 50. Aflați valoarea maximă a profitului pe care o poate primi producătorul.
2.5 În etapa inițială a producției, firma minimizează costurile medii, iar funcția de cost are forma: Ulterior, prețul pe unitate de marfă este stabilit egal cu R=37. Cu câte unități ar trebui firma să crească producția? Cât de mult se vor schimba costurile medii?
Sarcini de testare.
CONSUM SI CERERE
2.1 Obiective
Sarcina nr. 1
Cantitatea de consum al unui anumit bun de către o gospodărie
(q) în funcție de venit (I) este descris de egalitatea:
Stabiliți la ce valori ale venitului produsul
din această gospodărie este
a) bunul cel mai mic;
b) un bun normal;
c) un bun necesar;
d) un bun de lux.
Problema nr. 2 Un individ consumă două bunuri în cantități x și respectiv y. Sunt funcțiile de utilitate de mai jos în concordanță cu axiomele preferințelor consumatorilor? (Nu chiar)
a) U(x, y) = x2 + y 2 ;
c) U(x, y) = +.
xy Problema nr. 3 Preferințele individuale sunt caracterizate de rate marginale de substituție MRSxy = 2, MRSxz = 0,8. Aflați ratele marginale de substituție a) MRSyx, b) MRSzx, c) MRSyz, d) MRSzy.
16 Partea a II-a.
Problema nr. 4 O gospodărie consumă două bunuri în cantităţi x şi y; preferințele sale sunt descrise de funcția de utilitate U(x, y). Găsiți funcția cererii gospodăriei dacă
a) U(x, y) = x3y2;
b) U(x, y) = xy.
Problema nr. 5 Preferințele a doi indivizi sunt descrise de funcțiile de utilitate xy U1 (x, y) = U2 (x, y) = ln x + ln y ln(x + y).
x+y Acești indivizi au preferințe diferite?
Problema nr. 6 Luați în considerare un model în care preferințele consumatorilor nu se referă la produse, ci la caracteristicile pe care le au produsele (modelul Lancaster). Să presupunem că luăm în considerare un set de produse care au două caracteristici (X și Y).
Să notăm (xi, yi) măsurile cantitative ale caracteristicilor corespunzătoare în unitatea produsului i-a și, din motive de simplitate, cantitatea de produs achiziționată pentru o unitate monetară este luată ca unitate a fiecărui produs. . Vom presupune că preferințele în spațiu sunt Consumul și cererea. Cele 17 caracteristici satisfac aceleași axiome ca și preferințele în spațiul bunurilor în teoria tradițională.
Tabelul (de mai sus) prezintă date pentru șase produse diferite. Care dintre ele nu au perspective de a fi vândute pe piață?
Problema nr. 7 O gospodărie consumă două bunuri, X și Y, în cantități x și y; venitul lui I = 60, iar preferințele sale sunt descrise de funcția de utilitate U(x, y) =.
a) Aflați volumul cererii pentru fiecare dintre bunuri la prețul bunurilor pX = 9, pY = 4.
Problema nr. 8 O gospodărie consumă două bunuri, X și Y, în cantități x și y; preferințele sale sunt descrise de funcția de utilitate U(x, y) = x + y. Venitul este cunoscut: I = 60.
a) Aflați volumul cererii pentru fiecare dintre bunuri la prețul bunurilor pX = 10, pY = 5.
b) Determinați dependența volumului cererii pentru fiecare dintre bunuri de prețuri și venit.
c) Determinați natura interdependenței bunurilor în consum.
Problema nr. 9
– – –
b) Determinați dependența volumului cererii pentru fiecare dintre bunuri de venit.
Problema nr. 10 Un individ consumă două bunuri, X și Y, în cantități x și respectiv y.
Funcția de utilitate a individului:
U = ax + by + xy, a 0, b 0.
a) Fie a = 10, b = 25. Să se determine volumul consumului de bunuri dacă prețurile mărfurilor sunt pX = 5, pY = 2 cu venitul unui individ I = 200;
b) la fel pentru venitul persoanei fizice I = 100;
c) la ce raporturi dintre venit și prețuri va fi optimul consumatorului intern (x 0, y 0)?
Problema nr. 11
O gospodărie dobândește bunul X, produs de un monopol natural, la un preț pX = 10 într-o sumă x = = 5. Statul, care reglementează prețul produsului unui monopol natural, a considerat că este oportun să crească prețul la pX = = 14 și plătește despăgubiri gospodăriei în valoare de (pX – pX ) x = 20.
a) S-a schimbat averea gospodăriei și, dacă da, în ce direcție?
b) Verificați afirmația folosind următorul exemplu: pe lângă bunul X, gospodăria consumă un alt bun, Y, al cărui preț pY = 1 nu s-a modificat; venitul gospodăriei I = 100 și funcția de utilitate U(x, y) = xy.
Problema nr. 12 Clasificarea bunurilor pe baza curbelor Engel ia în considerare modificările ponderii veniturilor alocate achiziției bunului în cauză, în funcție de modificările veniturilor.
Demonstrați următoarele afirmații:
Consumul și cererea. 19 dacă ponderea venitului alocată achiziției unui bun dat crește odată cu venitul, atunci elasticitatea consumului în raport cu venitul este mai mare de unu;
Dacă ponderea venitului alocată achiziției unui bun dat scade odată cu creșterea venitului, atunci elasticitatea consumului în raport cu venitul este mai mică de unu.
Problema nr. 13
O gospodărie consumă trei bunuri, X, Y și Z. Ponderea lor în cheltuieli este sX = 50%, sY = 30%, respectiv sZ = 20%. Elasticitățile venitului ale volumelor de consum ale bunurilor X și Y sunt cunoscute: EI[x] = 2, EI[y] = 0,6.
a) Aflați elasticitatea volumului de consum al bunului Z în raport cu venitul.
b) Stabiliți ce tip îi aparține fiecare dintre bunuri.
Problema nr. 14 Demonstrați afirmația: dacă printre bunurile consumate de o gospodărie există cel puțin una inferioară, atunci printre ele există și cel puțin una de lux.
Problema nr. 15 Compania de telefonie oferă consumatorilor de servicii o alegere între două opțiuni tarifare: (a) 4 unități/min fără taxă de abonament; (b) 2 unități/min și taxa de abonament 20 de unități.
Ce tarif va alege fiecare dintre următorii consumatori:
1) funcția de utilitate U1 = x0,5y0,5, venit I1 = 100 unități;
2) funcția de utilitate U2 = x0,25y0,75, venit I2 = 100 unități;
3) funcția de utilitate U3 = x0,25y0,75, venit I3 = 200 unități.
Aici x este cantitatea (în minute) de servicii consumate ale companiei de telefonie, y este volumul de consum al tuturor celorlalte bunuri, al căror preț este egal cu 1 unitate.
20 Partea a II-a.
2.2 Soluții Rezolvarea problemei nr. 1 Graficul arată că pe măsură ce venitul crește de la zero la un anumit nivel, volumul de consum al produsului crește, astfel încât beneficiul este normal; cu o creștere suplimentară a venitului, acest produs este înlocuit cu un înlocuitor, volumul consumului său scade și produsul devine inferior.
– – –
Comentarii.
1. Semnul derivatei coincide întotdeauna cu semnul elasticității. Prin urmare, răspunsurile la toate întrebările problemei ar putea fi obținute luând în considerare intervalele de niveluri de venit în care valorile EI[q] depășesc unu, se află între zero și unu și se dovedesc a fi negative.
2. Clasificarea modernă a bunurilor de consum provine din cercetările lui E. Engel, efectuate la mijlocul secolului al XIX-lea. și, firește, nu a folosit conceptul de elasticitate a funcțiilor. După ce a analizat structura bugetelor consumatorilor, Engel a constatat că, pe măsură ce veniturile cresc, cantitatea cheltuielilor cu alimentele crește, dar ponderea acestora în distribuția veniturilor scade. Dacă luăm în considerare un anumit bun consumat în cantitate q și cumpărat la prețul p (pe care îl presupunem aici constant), atunci cheltuielile sunt egale cu pq.
Ponderea atribuibilă acestui produs este egală cu pq/I; dacă scade odată cu creșterea venitului, atunci EI 0. Folosind proprietățile elasticității (vezi Anexa) și ținând cont de prețul constant, prezentăm acest raport sub forma EI[q] – 1 0, sau EI[q] 1. În același timp, suma absolută a cheltuielilor crește, EI = EI[q] 0. Astfel, legea lui Engel în raport cu un bun necesar (cum ar fi hrana) este formulată ca o dublă inegalitate 0 EI[q] 1.
22 Partea a II-a.
– – –
de prețul altui bun, iar ponderea cheltuielilor pentru acest bun în valoarea venitului depindea doar de parametrii funcției de utilitate și nu depindea nici de venit, nici de prețuri.
Constanța ponderii cheltuielilor (independența veniturilor) înseamnă că ambele bunuri ocupă o poziție limită între bunurile necesare și cele de lux. Independența volumului cererii pentru fiecare bun față de prețul altui bun înseamnă că bunurile sunt independente în consum.
Ponderea cheltuielilor pentru fiecare beneficiu nu depindea de valori absolute parametrii şi, dar numai asupra relaţiei lor.
Astfel, soluția din partea a) nu s-ar schimba dacă exponenții nu ar fi 3 și 2, ci, să zicem, 15 și 10 sau 0,3 și
0,2. Ultima împrejurare se datorează faptului că funcțiile de utilitate legate de o transformare monoton crescătoare reprezintă același sistem de preferințe (conceptul ordinal de utilitate). Fie x un vector care reprezintă o mulțime de bunuri, U1(x) și U2(x) sunt funcții de utilitate și U2(x) = (U1(x)), unde este o funcție crescătoare monotonă. În acest caz, dacă U1(x1) U1(x2), atunci U2(x1) U2(x2), adică setul evaluat de funcția U1 ca fiind mai preferabil este, de asemenea, evaluat de funcția U2. Ridicarea la o putere pozitivă este o transformare monoton crescătoare, iar funcția x15y10 = (x3y2)5 descrie același sistem de preferințe ca și funcția din problema a). De exemplu, logaritmul dă același rezultat:
U3(x) = 3 ln x + 2 ln y = ln(x3y2).
În sarcini, consumatorul a fost limitat la două bunuri, dar concluziile rămân valabile pentru un număr arbitrar de bunuri. Fie x = (x1, x2, …, xn) și n U (x) = xii, (1) i =1
– – –
Soluția problemei nr. 5 Este ușor de observat că U1(x, y) = ln U2(x, y). Logaritmul este o funcție crescătoare. Dacă primul consumator preferă mulțimea (x1, y1) în locul mulțimii (x2, y2), adică dacă U1(x1, y1) U1(x2, y2), atunci U2(x1, y1) U2(x2, y2) ), și asta înseamnă că al doilea consumator preferă și primul set celui de-al doilea. Conform teoriei utilității ordinale, preferințele consumatorilor nu se pot distinge.
Consumul și cererea. 27
– – –
Soluția problemei nr. 6 Una dintre axiomele preferințelor consumatorilor este axioma nesaturației („mai mult este mai bine decât mai puțin”). Prin urmare, pare evident că orice consumator va prefera produsul 2 produsului 1 (x2 x1 și y2 y1) - produsul 2 domină produsul 1. În figură, zona de dominanță în raport cu produsul 1 („colțul de nord-est”) este afișat cu linii întrerupte; punctul corespunzător produsului 2 este situat în această zonă. Dacă în raport cu un anumit produs există unul dominant (pe grafic ar fi situat în dreapta și deasupra acestuia), atunci niciun consumator nu va alege acest produs. Astfel, produsul 1 nu poate fi vândut.
În plus, un produs nu poate fi vândut dacă este inferior în ambele caracteristici unui anumit set de produse achiziționate la același preț. Dacă o mulțime conține n produse în cantități i astfel încât n
– – –
iar dacă fiecare dintre produse ar putea fi achiziționat pentru o unitate monetară, atunci setul ar putea fi achiziționat și pentru o unitate. Dacă un anumit produs este dominat de un set de alte produse, atunci fiecare consumator va prefera acest set.
Dacă alegerea se face în spațiul a două caracteristici, este suficient să ne limităm la seturi de două produse; toate seturile posibile de două produse specifice sunt reprezentate grafic prin segmente de linie care leagă punctele reprezentând aceste produse. Astfel, dacă pe graficul din dreapta și deasupra unui produs dat există puncte pe un segment care leagă alte două produse, aceasta înseamnă că există mulțimi care domină acest produs. Dacă compunem o mulțime din al treilea și al cincilea produs în cantități 3 =, 5 =, atunci obținem o mulțime cu caracteristicile x = 6 = x4 și y = 6 y4 (punctul 4 din figură), dominantă în raport cu al patrulea. produs (pentru dominația lui i peste j necesită xi xj și yi yj, iar cel puțin una dintre inegalități trebuie să fie strictă).
30 Partea a II-a.
Soluția la problema nr. 7
– – –
scade pe măsură ce prețul acestui bun crește, dar crește pe măsură ce prețul altui bun crește. Aceasta înseamnă că bunurile sunt reciproc substituibile.
Soluția la problema nr. 9
– – –
Dacă această condiție este încălcată, gospodăria abandonează complet bunul Y, astfel încât y = 0. Dar în acest caz, expresia pentru x devine incorectă: întrucât toate veniturile sunt cheltuite pentru bunul X, volumul consumului acestuia este egal cu x = I/pX.
Pentru a testa această ipoteză, să aflăm ce valori ia rata marginală de substituție la limita bugetului, descrisă de egalitatea pXx + pYy = I. Din condiția y 0 rezultă că pXx I și x I /pX. Prin urmare, la frontiera bugetară p2 162 MRS XY = 2 X = 2.
I2 x I Egalitatea MRSXY = pX /pY = 16/25 = 0,625 este condiția pentru optimul consumatorului intern. La I = 70, rata marginală de substituție la frontiera bugetară nu este mai mică de 162/702 0,052, iar la un moment dat (și anume x = 1,25, y = 2) este egală cu 0,625. Acesta este optimul intern găsit mai sus. Când I = 15 pe limita bugetară MRSXY 162/152 1,138 și valoarea egală cu 0,625 nu există pe linia bugetară. Aceasta înseamnă că optimul consumatorului ocupă o limită sau, așa cum se numește mai des în economie, o poziție unghiulară. Astfel, Comentează.
Dacă pentru unele valori (x, y) situate la limita bugetului, apare inegalitatea MRSXY pX /pY, atunci este în interesul consumatorului să crească ușor consumul de bun X, reducând în mod corespunzător consumul de bun Y Dacă inegalitatea are semnul opus, atunci consumatorul poate crește utilitatea setului consumat, deplasându-se de-a lungul graniței bugetare către o scădere a Consumului și a cererii. 33 consumul de bun X și consumul crescut de bun Y.
Dacă într-un punct interior al frontierei bugetare este valabilă egalitatea MRSXY = pX / pY, atunci, după cum rezultă din convexitatea curbelor de indiferență la origine, atât o creștere, cât și o scădere a valorii lui x ar duce la o scădere a utilitate. Aceasta înseamnă că în acest moment este atins optimul consumatorului. Dar dacă la frontiera bugetară raportul MRSXY pX/pY se menține peste tot, atunci în fiecare punct intern al frontierei consumatorul este interesat să crească x, astfel încât optimul să fie atins prin cheltuirea integrală a veniturilor pentru achiziționarea bunului X și refuzul bunului. Y.
Soluție la problema nr. 10
– – –
volumul de consum este imposibil, rezultatul obtinut inseamna ca optimul intern al consumatorului in aceste conditii nu exista. În consecință, optimul ia poziția la limită: x = 0, y = I/pY = 50. Vezi comentariul problemei anterioare.
Soluție la problema nr. 11
– – –
din venit este considerată în ipoteza prețurilor fixe; pentru elasticitatea acțiunii este valabilă egalitatea EI[s] = EI = EI[x] – 1 (vezi Anexa). Pentru o pondere crescătoare EI[s] 0, pentru o pondere descrescătoare EI[s] 0, ceea ce implică ambele afirmații.