Baie 

Cum se înmulțesc numerele obișnuite. Înmulțirea fracțiilor, împărțirea fracțiilor

) și numitor cu numitor (se obține numitorul produsului).

Formula pentru înmulțirea fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a începe înmulțirea numărătorilor și numitorilor, trebuie să verificați dacă fracția poate fi redusă. Dacă puteți reduce fracția, vă va fi mai ușor să faceți calcule suplimentare.

Împărțirea unei fracții comune la o fracție.

Împărțirea fracțiilor care implică numere naturale.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertim întregul într-o fracție cu unu la numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

  • converti fracțiile mixte în fracții improprii;
  • înmulțirea numărătorilor și numitorilor fracțiilor;
  • reduceți fracția;
  • Dacă obțineți o fracție improprie, atunci convertim fracția improprie într-o fracție mixtă.

Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le convertiți în forma de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Poate fi mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții comune cu un număr.

Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.

Din exemplul dat mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul unei fracții este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții cu mai multe etaje.

În liceu, se întâlnesc adesea fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma ei obișnuită, utilizați împărțirea prin 2 puncte:

Notă! La împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, aici este ușor să te încurci.

Notă, De exemplu:

Când împărțiți unul la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, concentrat și clar. Este mai bine să scrieți câteva rânduri în plus în ciornă decât să vă pierdeți în calcule mentale.

2. În sarcini cu tipuri diferite fracții - mergi la forma fracțiilor obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până când nu se mai poate reduce.

4. Transformăm expresii fracționale cu mai multe niveluri în expresii obișnuite folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțiți o unitate la o fracțiune în cap, pur și simplu răsturnând fracția.

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cea mai dificilă parte a acestor acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. În primul rând, să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.

Desemnare:

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea (și adesea apare) o fracție reductibilă -, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracțiunea se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.

Prin definiție avem:

Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative

Dacă fracțiile conțin o parte întreagă, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:

  1. Plus cu minus dă minus;
  2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:

  1. Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
  2. Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce rămâne după regulile obișnuite. Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care apare în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când înmulțiți, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Prin definiție avem:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:

Nu poți face asta!

Eroarea apare deoarece la adunare, numărătorul unei fracții produce o sumă, nu un produs de numere. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea principală a unei fracții, deoarece în această proprietate despre care vorbimîn special despre înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, deci solutie corecta sarcina anterioară arată astfel:

Solutia corecta:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Această operație este mult mai frumoasă decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Ca o reamintire, pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Acesta este:

De exemplu:

Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu e nevoie de el aici...

Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să inversați al doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:

De exemplu:

Dacă întâlniți înmulțiri sau împărțiri cu numere întregi și fracții, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu unul la numitor - și mergeți mai departe! De exemplu:

În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:

Cum pot face ca această fracție să arate decent? Da, foarte simplu! Utilizați împărțirea în două puncte:

Dar nu uitați de ordinea împărțirii! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar este ușor să faci o greșeală într-o fracțiune de trei etaje. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:

În primul caz (expresie din stânga):

În a doua (expresie din dreapta):

Simți diferența? 4 și 1/9!

Ce determină ordinea împărțirii? Fie cu paranteze, fie (ca aici) cu lungimea liniilor orizontale. Dezvoltați-vă ochiul. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:

apoi împărțiți și înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!

Și o altă tehnică foarte simplă și importantă. În acțiuni cu grade, îți va fi atât de util! Să împărțim unul cu orice fracție, de exemplu, la 13/15:

Lovitura s-a răsturnat! Și asta se întâmplă mereu. Când împărțiți 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar invers.

Asta e pentru operațiuni cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Notă sfaturi practice, și vor fi mai puține dintre ele (erori)!

Sfaturi practice:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Acestea nu sunt cuvinte generale, nu sunt urări de bine! Acest nevoie urgentă! Efectuați toate calculele pentru examenul de stat unificat ca o sarcină cu drepturi depline, concentrată și clară. Este mai bine să scrieți două rânduri în plus în ciornă decât să dați greșelii atunci când faceți calcule mentale.

2. În exemple cu diferite tipuri de fracții, trecem la fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până se opresc.

4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).

5. Împărțiți o unitate la o fracțiune în cap, pur și simplu răsturnând fracția.

Iată sarcinile pe care trebuie neapărat să le îndeplinești. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele pe această temă și sfaturi practice. Estimați câte exemple ați reușit să rezolvați corect. Prima dată! Fără calculator! Și trageți concluziile corecte...

Amintiți-vă - răspunsul corect este primit de la a doua (mai ales a treia) oară nu contează! Așa este viața aspră.

Asa de, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este deja pregătirea pentru examenul de stat unificat. Rezolvăm exemplul, îl verificăm, îl rezolvăm pe următorul. Am decis totul - am verificat din nou de la prima până la sfârșit. Doar daca Apoi uita-te la raspunsuri.

Calculati:

Te-ai decis?

Căutăm răspunsuri care se potrivesc cu ale dumneavoastră. Le-am notat voit în dezordine, departe de ispită, ca să zic așa... Iată-le, răspunsurile, scrise cu punct și virgulă.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Acum tragem concluzii. Daca totul a iesit, ma bucur pentru tine! Calculele de bază cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu...

Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar asta rezolvabil Probleme.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Numerele fracționale obișnuite întâlnesc mai întâi școlari în clasa a V-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să se folosească un obiect nu ca un întreg, ci în bucăți separate. Începeți să studiați acest subiect - acțiuni. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte acest sau acel obiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se exprime, de exemplu, lungimea sau prețul unui produs ca număr întreg; ar trebui luate în considerare părți sau fracțiuni ale unei anumite măsuri. Format din verbul „a împărți” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, cuvântul „fracție” însuși a apărut în limba rusă în secolul al VIII-lea.

Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cea mai dificilă ramură a matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, ele erau numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de înțeles de către oameni.

Aspect modern resturile fracționale simple, ale căror părți sunt separate printr-o linie orizontală, au fost promovate pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate din 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cu ce se înmulțesc fracțiile mixte numitori diferiti.

Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți

Inițial merită determinat tipuri de fracții:

  • corect;
  • incorect;
  • amestecat.

În continuare, trebuie să vă amintiți cum sunt înmulțite numerele fracționale cu aceiași numitori. Însăși regula acestui proces nu este dificil de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracțiilor simple cu numitori identici este o expresie fracțională, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. . Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente inițial.

La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori regula nu se schimbă:

A/b * c/d = a*c/ b*d.

Singura diferență este că numărul format sub linia fracțională va fi un produs de numere diferite și, desigur, nu poate fi numit pătratul unei expresii numerice.

Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți folosind exemple:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Exemplele folosesc metode pentru reducerea expresiilor fracționale. Puteți reduce numerele numărătorului doar cu numerele numitorului; factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracției nu pot fi reduceți.

Alături de fracțiile simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Cum funcționează înmulțirea?

Sunt oferite mai multe exemple pentru a fi luate în considerare.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracțională obișnuită, regula pentru această acțiune poate fi scrisă astfel:

A* b/c = a*b/c.

De fapt, un astfel de produs este suma resturilor fracționale identice, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Caz special:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Există o altă soluție pentru înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:

d* e/f = e/f:d.

Această tehnică este utilă atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, la un număr întreg.

Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă ca o fracție improprie și poate fi reprezentată și ca o formulă generală:

A bc = a*b+ c/c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea întregii părți cu numitorul și adăugarea acesteia cu numărătorul restului fracționar inițial, iar numitorul rămâne același.

Acest proces funcționează și în direcția opusă. Pentru a separa întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul unei fracții improprie la numitorul ei folosind un „colț”.

Înmulțirea fracțiilor improprii produs într-un mod general acceptat. Când scrieți sub o singură linie de fracție, trebuie să reduceți fracțiile după cum este necesar pentru a reduce numerele folosind această metodă și pentru a facilita calcularea rezultatului.

Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme complexe. probleme de matematicăîn diverse variante de program. Un număr suficient de astfel de servicii oferă asistență în calcularea înmulțirii fracțiilor cu numere diferite în numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Nu este dificil să lucrezi cu el; completați câmpurile corespunzătoare de pe pagina site-ului, selectați semnul operației matematice și faceți clic pe „calculați”. Programul calculează automat.

Tema operațiilor aritmetice cu fracții este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de gimnaziu și liceu. În liceu nu mai consideră cea mai simplă specie, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule obținute mai devreme se aplică în forma sa originală. Cunoștințele de bază bine stăpânite oferă încredere deplină în decizie de succes cel mai sarcini complexe.

În concluzie, este logic să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea unei persoane să-și mărească numărătorul - meritele - dar oricine își poate reduce numitorul - părerea sa despre sine, iar odată cu această scădere se apropie de perfecțiunea sa.

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile unităților termenilor.

Vom lua în considerare trei cazuri secvenţial:

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.

Luați în considerare un exemplu: 1/5 + 2/5.

Să luăm segmentul AB (Fig. 17), să îl luăm ca unul și să îl împărțim în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și o parte a aceluiași segment CD va fi egală cu 2/5 AB.

Din desen este clar că dacă luăm segmentul AD, acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici obținem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

Să ne uităm la un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să adunăm fracțiile: 3 / 4 + 3 / 8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu a putut fi scrisă; am scris-o aici pentru claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să etichetați numitorul comun.

Să luăm în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari deasupra fracțiilor corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Să adunăm numerele: 2 3/8 + 3 5/6.

Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

Acum adăugăm secvențial părțile întregi și fracționale:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune cu ajutorul căreia, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri succesive:

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.

Să ne uităm la un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va reprezenta 1/15 din AB, iar o parte AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem fracția 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, dar numitorul a rămas același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu numitori similari, trebuie să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Intermediarul 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis mai târziu.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul minuendului de la numărătorul minuendului și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

Să ne uităm la un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3/4 - 7 2/3.

Să reducem părțile fracționale ale minuendului și subtraendului la cel mai mic numitor comun:

Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din întreaga parte a minuendului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să o adăugați la partea fracțională a minuendului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Aflarea fracției dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Aflarea procentului unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. A înmulți o fracție (multiplicand) cu un întreg (factor) înseamnă a crea o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Aceasta înseamnă că, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg echivalează cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întregul număr. Și întrucât creșterea unei fracții se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin reducerea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu un număr întreg, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, înmulțiți numărătorul cu acel număr întreg și lăsați numitorul același sau, dacă este posibil, împărțiți numitorul la acel număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Aflarea fracției dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste probleme și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicat și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme, apoi vom introduce o metodă de rezolvare a acestora.

Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; Am cheltuit 1/3 din acești bani pentru a cumpăra cărți. Cât au costat cărțile?

Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă o distanță între orașele A și B egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din această distanță. Cati kilometri este asta?

Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul sunt din lemn. Câte case din cărămidă sunt în total?

Acestea sunt câteva dintre numeroasele probleme pe care le întâlnim pentru a găsi o parte dintr-un anumit număr. Ele sunt de obicei numite probleme pentru a găsi fracția dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Aceasta înseamnă că pentru a găsi costul cărților trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Ideea problemei este că trebuie să găsiți 2/3 din 300 km. Să calculăm mai întâi 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă care alcătuiesc 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

Pe baza soluției la aceste probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). În acest paragraf (punctul 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici vom întâlni, de exemplu, înmulțirea: 9 2 / 3. Este clar că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce ar trebui înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: înmulțirea unui număr întreg (multiplicand) cu o fracție (multiplicand) înseamnă găsirea acestei fracțiuni a multiplicandului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful anterior au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că vom ajunge cu 6.

Dar acum apare o întrebare interesantă și importantă: de ce operațiuni atât de aparent diferite, cum ar fi găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr, sunt numite în aritmetică prin același cuvânt „înmulțire”?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea unui număr cu termeni de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracțiunii unui număr) dau răspunsuri la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerentele că întrebări sau sarcini omogene sunt rezolvate prin aceeași acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca o fracție: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?”

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

Puteți schimba numerele din el de mai multe ori, fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Întrucât aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3/4 din 50. Să găsim mai întâi 1/4 din 50 și apoi 3/4.

1/4 din 50 este 50/4;

3/4 din numărul 50 este .

Prin urmare.

Să luăm în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 =?

1/8 din numărul 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 este .

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.

Să scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

Este important să rețineți că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) reduceri, De exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulțiți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția care se află în factorul din prima fracție (multiplicand).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

Să luăm un exemplu: 3/4 înmulțit cu 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Să găsim mai întâi 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din numărul 3/4 va fi exprimat astfel:

5/7 numere 3/4 vor fi exprimate astfel:

Prin urmare,

Un alt exemplu: 5/8 înmulțit cu 4/9.

1/9 din 5/8 este ,

4/9 din numărul 5/8 este .

Prin urmare,

Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea produs numitorul produsului.

Aceasta este regula în vedere generala se poate scrie asa:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Să ne uităm la exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că, în cazurile în care multiplicatorul sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați ca numere mixte, aceștia sunt înlocuiți cu fracții improprii. Să înmulțim, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Să transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi să înmulțim fracțiile rezultate conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să le înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor cu fracții.

Notă. Dacă unul dintre factori este un număr întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. Când rezolvăm probleme și efectuăm diverse calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere faptul că multe cantități permit nu orice, ci diviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi o copecă, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 de rublă, va fi „10 copeici, sau o bucată de zece copeici. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu o iau, de exemplu, 2/7 dintr-o rublă pentru că rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de greutate, adică kilogramul, permite în primul rând diviziuni zecimale, de exemplu 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram precum 1/6, 1/11, 1/13 nu sunt comune.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit diviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de împărțire bine justificată este „a suta” diviziune. Să luăm în considerare câteva exemple referitoare la cele mai diverse domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții era de 10 ruble. A scăzut cu 1 rublă. 20 de copeici

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2/100 din suma depusă pentru economii în cursul anului.

Exemplu. În casa de marcat sunt depuse 500 de ruble, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală erau doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit.

A sutimea parte a unui număr se numește procent.

Cuvântul „procent” este împrumutat de la limba latină iar rădăcina sa „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul unei astfel de expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda erau banii pe care debitorul îi plătea creditorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (să spunem centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că în ultima lună fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea a fost defecte, vom spune așa: în ultima lună, fabrica a produs un procent din defecte. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma depusă în economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din toți elevii școlii.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți simbolul % în loc de cuvântul „procent”.

Cu toate acestea, trebuie să rețineți că în calcule semnul % nu este de obicei scris; acesta poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu acest simbol.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma indicată cu o fracție cu numitorul 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu simbolul indicat în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Aflarea procentului unui număr dat.

Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m de lemn de foc, si lemn de foc de mesteacan au fost de 30%. Cât lemn de foc de mesteacăn era acolo?

Sensul acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn constituia doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată în fracția 30/100. Aceasta înseamnă că avem sarcina de a găsi o fracțiune dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30/100 (problemele de găsire a fracției unui număr se rezolvă prin înmulțirea numărului cu fracția.).

Aceasta înseamnă că 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30/100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se facă această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar fi schimbat.

Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au reprezentat 21%, copiii de 12 ani au reprezentat 61% și, în final, copiii de 13 ani au reprezentat 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și în final de 13 ani.

Aceasta înseamnă că aici va trebui să găsiți fracțiunea numărului de trei ori. Hai să o facem:

1) Câți copii de 11 ani au fost?

2) Câți copii de 12 ani au fost?

3) Câți copii de 13 ani erau acolo?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, trebuie remarcat faptul că suma procentelor date în enunțul problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total de copii din tabără a fost considerat 100%.

3 a d a h a 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Din acestea, a cheltuit 65% pe alimente, 6% pe apartamente și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a făcut economii. Câți bani s-au cheltuit pentru nevoile indicate în problemă?

Pentru a rezolva această problemă trebuie să găsiți de 5 ori fracția de 1200. Să facem asta.

1) Câți bani s-au cheltuit pe mâncare? Problema spune că această cheltuială reprezintă 65% din câștigurile totale, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

2) Cati bani ati platit pentru un apartament cu incalzire? Raționând similar celui precedent, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Pentru a verifica, este util să adunăm numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea numerelor procentuale indicate în declarația problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste probleme s-au ocupat de lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate problemele a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Pe măsură ce studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.
4. Împărțirea unei fracții la o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

După cum s-a indicat în departamentul numerelor întregi, împărțirea este acțiunea care constă în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

Ne-am uitat la împărțirea unui număr întreg la un număr întreg în secțiunea despre numere întregi. Am întâlnit două cazuri de împărțire acolo: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15) și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 rest). Putem spune deci că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul divizorului cu întregul. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă găsirea unui număr al cărui produs cu 12 ar fi egal cu 7. Un astfel de număr este fracția 7 / 12 deoarece 7 / 12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14 / 25, deoarece 14 / 25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să creați o fracție al cărei numărător este egal cu dividendul și numitorul este egal cu divizorul.

2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg.

Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. Conform definiției împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un al doilea factor care, înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6/7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția de 6/7 de 3 ori.

Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin micșorarea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

În acest caz, numărătorul 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie redus de 3 ori.

Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

Pe baza acesteia, se poate face o regulă: Pentru a împărți o fracție la un număr întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg.(dacă este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.

Să fie necesar să împărțim 5 la 1/2, adică să găsim un număr care, după înmulțirea cu 1/2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1/2 este o fracție proprie. , iar la înmulțirea unui număr produsul unei fracții adecvate trebuie să fie mai mic decât produsul înmulțit. Pentru a face acest lucru mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , ceea ce înseamnă x 1 / 2 = 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este egal cu 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 = 10.

Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sa verificam:

Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că doriți să împărțiți 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig.19

Să desenăm un segment AB egal cu 6 unități și să împărțim fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3/3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Folosind paranteze mici, conectăm cele 18 segmente rezultate din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în 6 unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind numai calcule? Să raționăm astfel: trebuie să împărțim 6 la 2/3, adică trebuie să răspundem la întrebarea de câte ori 2/3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori 1/3 este conținut în 6? Într-o unitate întreagă sunt 3 treimi, iar în 6 unități sunt de 6 ori mai multe, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr trebuie să înmulțim 6 cu 3. Aceasta înseamnă că 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, când împărțim 6 la 2/3 am făcut următoarele:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg la o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.

Să scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparăm regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Vă rugăm să rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții la o fracție.

Să presupunem că trebuie să împărțim 3/4 la 3/8. Ce va însemna numărul rezultat din împărțire? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Să luăm un segment AB, să-l luăm ca unul, să-l împărțim în 4 părți egale și să marchem 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente originale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Să conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că un segment egal cu 3/8 este cuprins într-un segment egal cu 3/4 exact de 2 ori; Aceasta înseamnă că rezultatul împărțirii poate fi scris după cum urmează:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după înmulțirea cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 număr necunoscut X sunt 15/16

1/32 dintr-un număr necunoscut X este ,

32 / 32 de numere X inventa .

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

Când împărțiți numere mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracţii improprii şi apoi împărțiți fracțiile rezultate după regulile de împărțire a numerelor fracționale. Să ne uităm la un exemplu:

Să transformăm numerele mixte în fracții improprii:

Acum să împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți folosind regula de împărțire a fracțiilor.

6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.

Printre diversele probleme cu fracțiile, uneori există acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și trebuie să găsiți acest număr. Acest tip de problemă va fi inversul problemei găsirii fracției dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracțiune din acest număr, aici a fost dat o fracțiune dintr-un număr și a fost necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

Soluţie. Problema spune că 50 de ferestre cu geam alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, adică 3/8 din stocul total de făină pe care îl avea magazinul. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

Soluţie. Din condițiile problemei reiese clar că 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; Aceasta înseamnă că 1/8 din această rezervă va fi de 3 ori mai mică, adică pentru a o calcula trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (aceasta este 1/8 din rezervă).

Evident, întreaga aprovizionare va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 = 4.000 (kg).

Stocul inițial de făină din magazin a fost de 4.000 kg.

Luând în considerare această problemă, se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi un număr dintr-o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede în mod deosebit din ultima, sunt rezolvate prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțire (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am învățat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate cu o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

În viitor, vom rezolva problemele de a găsi un număr din fracția sa cu o singură acțiune - împărțire.

7. Găsirea unui număr după procentajul său.

În aceste probleme, va trebui să găsiți un număr cunoscând câteva procente din acel număr.

Sarcina 1. La începutul acestui an am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii acum un an. Câți bani am băgat în banca de economii? (Casierele oferă deponenților o rentabilitate de 2% pe an.)

Ideea problemei este că am pus o anumită sumă de bani într-o casă de economii și am stat acolo un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am depus. Câți bani am băgat?

În consecință, cunoscând o parte din acești bani, exprimați în două moduri (în ruble și fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele probleme sunt rezolvate prin diviziune:

Aceasta înseamnă că 3.000 de ruble au fost depuse la banca de economii.

Sarcina 2. Pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64% în două săptămâni, recoltând 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din condițiile problemei se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Nu știm câte tone de pește trebuie pregătite conform planului. Găsirea acestui număr va fi soluția problemei.

Astfel de probleme sunt rezolvate prin diviziune:

Aceasta înseamnă că, conform planului, trebuie pregătite 800 de tone de pește.

Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri a întrebat un conductor care trecea cât de mult au parcurs deja călătoria. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din condițiile de problemă este clar că 30% din traseul de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Să luăm fracția 2/3 și să înlocuim numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Am obținut inversul acestei fracții.

Pentru a obține inversul unei fracții date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel putem obține reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua, iar numitorul primei este numărătorul celei de-a doua, se numesc reciproc invers.

Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând fracția inversă a celei date, am obținut un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

1/3, invers 3; 1/5, reversul 5

Întrucât în ​​găsirea fracțiilor reciproce am întâlnit și numere întregi, în cele ce urmează vom vorbi nu despre fracții reciproce, ci despre numere reciproce.

Să ne dăm seama cum să scriem inversul unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru poate fi rezolvat simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține inversul unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Aceasta înseamnă că inversul lui 7 va fi 1/7, deoarece 7 = 7/1; pentru numărul 10 inversul va fi 1/10, deoarece 10 = 10/1

Această idee poate fi exprimată diferit: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unu la un număr dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. De fapt, dacă trebuie să scriem inversul fracției 5/9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5/9, adică.

Acum să subliniem un lucru proprietate numere reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproce este egal cu unu.Într-adevăr:

Folosind această proprietate, putem găsi numere reciproce în felul următor. Să presupunem că trebuie să găsim inversul lui 8.

Să o notăm prin literă X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1/8. Să găsim un alt număr care este inversul lui 7/12 și să îl notăm cu literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1: 7 / 12 sau X = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Acordați o atenție deosebită expresiei și comparați-o cu cea dată: .

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri se întâmplă același lucru. Prin urmare putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu inversul divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.