Cum se rezolvă ecuații fracționale cu diferiți numitori. Cum se rezolvă ecuații cu fracții

„Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”

Obiectivele lecției:

Educational:

formarea conceptului de ecuații raționale fracționale; luați în considerare diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale; luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero; învață rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale folosind un algoritm; verificarea nivelului de stăpânire a temei prin efectuarea unui test.

Dezvoltare:

dezvoltarea capacității de a opera corect cu cunoștințele dobândite și de a gândi logic; dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare; dezvoltarea inițiativei, a capacității de a lua decizii și să nu se oprească aici; dezvoltarea gândirii critice; dezvoltarea abilităților de cercetare.

Educarea:

stimularea interesului cognitiv pentru subiect; promovarea independenței în rezolvarea problemelor educaționale; hrănind voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicatie material nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Sunt ecuații scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi în clasă? Formulați subiectul lecției. Așadar, deschideți caietele și notați subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic pe care trebuie să-l studiem subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)

2. Cum se numește ecuația nr. 1? ( Liniar.) O metodă de rezolvare a ecuațiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Dați termeni similari. Găsiți un factor necunoscut).

3. Cum se numește ecuația nr. 3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Izolarea unui pătrat complet folosind formule folosind teorema lui Vieta și corolarele sale.)

4. Ce este proporția? ( Egalitatea a două rapoarte.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este corectă, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor de mijloc.)

5. Ce proprietăți se folosesc la rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă mutați un termen dintr-o ecuație dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, veți obține o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.)

6. Când o fracție este egală cu zero? ( O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul este zero și numitorul nu este zero..)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Care ecuație rațională fracțională Poți încerca să rezolvi folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația numărul 7 folosind una dintre următoarele metode.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce există trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

Până acum, elevii nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină, le este într-adevăr foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.

În ecuațiile nr. 2 și 4 există numere la numitor, nr. 5-7 sunt expresii cu o variabilă

Valoarea variabilei la care ecuația devine adevărată

Faceți o verificare

Când testează, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care să ne permită să eliminăm această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, ceea ce înseamnă că 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii formulează ei înșiși algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

1. Mutați totul în partea stângă.

2. Reduceți fracțiile la un numitor comun.

3. Creați un sistem: o fracție este egală cu zero când numărătorul este egal cu zero și numitorul nu este egal cu zero.

4. Rezolvați ecuația.

5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.

6. Notează răspunsul.

Discuție: cum să formalizezi soluția dacă folosiți proprietatea de bază a proporției și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun. (Adăugați la soluție: excludeți din rădăcinile sale pe cele care fac să dispară numitorul comun).

4. Înțelegerea inițială a noului material.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve ei înșiși ecuația în funcție de tipul de ecuație. Teme din manualul „Algebra 8”, 2007: Nr. 000 (b, c, i); Nr. 000 (a, d, g). Profesorul monitorizează finalizarea sarcinii, răspunde la orice întrebări care apar și oferă asistență elevilor cu performanțe scăzute. Autotest: răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 – rădăcină străină. Raspuns: 3.

c) 2 – rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1;1.5.

5. Stabilirea temelor.

2. Învață algoritmul de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale.

3. Rezolvați în caietele Nr. 000 (a, d, e); Nr. 000 (g, h).

4. Încercați să rezolvați numărul 000(a) (opțional).

6. Realizarea unei sarcini de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe bucăți de hârtie.

Exemplu de sarcină:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este egală cu zero când numărătorul este ______________________ și numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației numărul 6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinii:

„5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină. „4” - 75%-89% „3” - 50%-74% „2” este acordat unui student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină. O nota de 2 nu este dată în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe fișele de lucru independente scrieți:

1 – dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine; 2 – interesant, dar nu clar; 3 – nu este interesant, dar de înțeles; 4 – nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Deci, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații căi diferite, și-au testat cunoștințele cu ajutorul unui training muncă independentă. Vei afla rezultatele muncii tale independente in urmatoarea lectie, iar acasa vei avea ocazia sa iti consolidezi cunostintele.

Care metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, în opinia dvs., este mai ușoară, mai accesibilă și mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce ar trebui să rețineți? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?

Mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Ecuații fracționale. ODZ.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultima vedere rămasă - ecuații fracționale. Sau sunt numite și mult mai respectabil - ecuații raționale fracționale. Este la fel.

Ecuații fracționale.

După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă numitorii sunt numai numere, acestea sunt ecuații liniare.

Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceasta, ecuația se transformă cel mai adesea în liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri se poate transforma într-o identitate, cum ar fi 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Voi mentiona asta mai jos.

Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând aceleași transformări identice.

Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Ca să se reducă toți numitorii! Totul va deveni imediat mai ușor. Să explic cu un exemplu. Trebuie să rezolvăm ecuația:

Cum ai fost predat în școala elementară? Mutăm totul într-o parte, îl aducem la un numitor comun etc. Uita cum vis oribil! Acesta este ceea ce trebuie să faceți când adăugați sau scădeți fracții. Sau lucrezi cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți cu o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?

În partea stângă, reducerea numitorului necesită înmulțirea cu x+2. Și în dreapta, este necesară înmulțirea cu 2 Aceasta înseamnă că ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Multiplica:

Aceasta este o multiplicare comună a fracțiilor, dar o voi descrie în detaliu:

Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid suportul (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:

Pe partea stângă se contractă în întregime (x+2), iar în dreapta 2. Care este ceea ce s-a cerut! După reducere obținem liniar ecuația:

Și toată lumea poate rezolva această ecuație! x = 2.

Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1, putem scrie:

Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - fracții.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu X, trebuie să înmulțim fracția cu (x – 2). Și câteva nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:

Din nou paranteze (x – 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg ca și cum ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de profundă satisfacție reducem (x – 2)și obținem o ecuație fără fracții, cu o riglă!

Acum să deschidem parantezele:

Aducem altele asemănătoare, mutam totul în partea stângă și obținem:

Dar înainte de asta vom învăța să rezolvăm alte probleme. Pe interes. Apropo, asta e o grebla!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Obiectivele lecției:

Educational:

formarea conceptului de ecuații raționale fracționale;
luați în considerare diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale;
luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero;
învață rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale folosind un algoritm;
verificarea nivelului de stăpânire a temei prin efectuarea unui test.

Dezvoltare:

dezvoltarea capacității de a opera corect cu cunoștințele dobândite și de a gândi logic;
dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare;
dezvoltarea inițiativei, a capacității de a lua decizii și să nu se oprească aici;
dezvoltarea gândirii critice;
dezvoltarea abilităților de cercetare.

Educarea:

stimularea interesului cognitiv pentru subiect;
promovarea independenței în rezolvarea problemelor educaționale;
hrănind voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicatie material nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Sunt ecuații scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic de care vom avea nevoie pentru a studia un subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)
Cum se numește ecuația numărul 1? ( Liniar.) O metodă de rezolvare a ecuațiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Dați termeni similari. Găsiți un factor necunoscut).
Cum se numește ecuația numărul 3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Izolarea unui pătrat complet folosind formule folosind teorema lui Vieta și corolarele sale.)
Ce este proporția? ( Egalitatea a două rapoarte.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este corectă, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor de mijloc.)
Ce proprietăți se folosesc la rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă mutați un termen dintr-o ecuație dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, veți obține o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.)
Când o fracție este egală cu zero? ( O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul este zero și numitorul nu este zero..)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Ce ecuație rațională fracțională puteți încerca să rezolvați folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația numărul 7 folosind una dintre următoarele metode.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce există trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 există numere la numitor, nr. 5-7 sunt expresii cu o variabilă.)
Care este rădăcina unei ecuații? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine adevărată.)
Cum să afli dacă un număr este rădăcina unei ecuații? ( Faceți o verificare.)

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, ceea ce înseamnă că 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii formulează ei înșiși algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

Mutați totul în partea stângă.
Reduceți fracțiile la un numitor comun.
Creați un sistem: o fracție este egală cu zero când numărătorul este egal cu zero și numitorul nu este egal cu zero.
Rezolvați ecuația.
Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
Scrieți răspunsul.

4. Înțelegerea inițială a noului material.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve ei înșiși ecuația în funcție de tipul de ecuație. Teme din manualul „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600(b,c,i); Nr. 601(a,e,g). Profesorul monitorizează finalizarea sarcinii, răspunde la orice întrebări care apar și oferă asistență elevilor cu performanțe slabe. Autotest: răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 – rădăcină străină. Raspuns: 3.

c) 2 – rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1;1.5.

5. Stabilirea temelor.

Citiți paragraful 25 din manual, analizați exemplele 1-3.
Învață un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale.
Rezolvați în caietele Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601(g,h).
Încercați să rezolvați nr. 696(a) (opțional).

6. Realizarea unei sarcini de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe bucăți de hârtie.

Exemplu de sarcină:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este egală cu zero când numărătorul este ______________________ și numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației numărul 6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinii:

„5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină.
„4” - 75%-89%
„3” - 50%-74%
„2” este acordat unui student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină.
O nota de 2 nu este dată în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe fișele de lucru independente scrieți:

1 – dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine;
2 – interesant, dar nu clar;
3 – nu este interesant, dar de înțeles;
4 – nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Așadar, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat să rezolvăm aceste ecuații în diferite moduri și ne-am testat cunoștințele cu ajutorul muncii educaționale independente. Vei afla rezultatele muncii tale independente in urmatoarea lectie, iar acasa vei avea ocazia sa iti consolidezi cunostintele.

Mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Instrucțiuni

Poate cel mai evident punct aici este, desigur. Fracțiile numerice nu prezintă niciun pericol (ecuațiile fracționale, în care toți numitorii conțin doar numere, vor fi în general liniare), dar dacă există o variabilă în numitor, atunci aceasta trebuie luată în considerare și notă. În primul rând, este că x, care transformă numitorul la 0, nu poate fi și, în general, este necesar să se precizeze separat faptul că x nu poate fi egal cu acest număr. Chiar dacă reușiți ca atunci când înlocuiți în numărător, totul converge perfect și îndeplinește condițiile. În al doilea rând, nu putem înmulți ambele părți ale ecuației cu , care este egal cu zero.

După aceasta, o astfel de ecuație se reduce la mutarea tuturor termenilor în partea stângă, astfel încât 0 să rămână în dreapta.

Este necesar să aducem toți termenii la un numitor comun, înmulțind, acolo unde este necesar, numărătorii cu expresiile lipsă.
În continuare, rezolvăm ecuația uzuală scrisă la numărător. Putem scoate factori comuni din paranteze, folosim înmulțiri abreviate, aducem pe cei asemănători, putem calcula rădăcini ecuație pătratică printr-un discriminant etc.

Rezultatul ar trebui să fie o factorizare sub forma unui produs dintre paranteze (x-(i-a rădăcină)). Aceasta poate include și polinoame care nu au rădăcini, de exemplu, un trinom pătratic cu un discriminant mai mic decât zero (dacă, desigur, problema implică doar rădăcini reale, așa cum este cel mai adesea cazul).
Este imperativ să factorizați numitorul și să găsiți parantezele deja conținute în numărător. Dacă numitorul conține expresii precum (x-(număr)), atunci este mai bine să nu înmulțiți parantezele din el direct atunci când reduceți la un numitor comun, ci să le lăsați ca un produs al expresiilor simple originale.
Parantezele identice din numărător și numitor pot fi scurtate notând mai întâi, după cum sa menționat mai sus, condițiile de pe x.
Răspunsul este scris între paranteze, ca un set de valori x, sau pur și simplu ca o enumerare: x1=..., x2=... etc.

Surse:

Ecuații raționale fracționale

Ceva de care nu te poți lipsi în fizică, matematică, chimie. Cel mai puţin. Să învățăm elementele de bază ale rezolvării lor.

Instrucțiuni

Clasificarea cea mai generală și simplă poate fi împărțită în funcție de numărul de variabile pe care le conțin și de gradele în care se află aceste variabile.

Rezolvați ecuația cu toate rădăcinile ei sau demonstrați că nu există.

Orice ecuație nu are mai mult de P rădăcini, unde P este maximul unei ecuații date.

Dar unele dintre aceste rădăcini pot coincide. Deci, de exemplu, ecuația x^2+2*x+1=0, unde ^ este pictograma pentru exponențiere, este pliată în pătratul expresiei (x+1), adică în produsul a două paranteze, fiecare dintre acestea dând x=- 1 ca soluție.

Dacă există o singură necunoscută într-o ecuație, aceasta înseamnă că veți putea găsi în mod explicit rădăcinile acesteia (reale sau complexe).

Pentru aceasta, cel mai probabil veți avea nevoie de diverse transformări: înmulțire prescurtată, calculul discriminantului și rădăcinilor unei ecuații pătratice, transferul de termeni dintr-o parte în alta, reducerea la un numitor comun, înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu aceeași expresie, printr-un pătrat etc.

Transformările care nu afectează rădăcinile ecuației sunt identice. Ele sunt folosite pentru a simplifica procesul de rezolvare a unei ecuații.

Puteți folosi și metoda grafică în locul celei analitice tradiționale și scrieți această ecuație în formă, apoi efectuați studiul ei.

Dacă există mai multe necunoscute într-o ecuație, atunci veți putea exprima doar una dintre ele în termenii celeilalte, arătând astfel un set de soluții. Acestea sunt, de exemplu, ecuații cu parametri în care există un x necunoscut și un parametru a. A rezolva o ecuație parametrică înseamnă ca tot a să exprime x în termenii lui a, adică să ia în considerare toate cazurile posibile.

Dacă ecuația conține derivate sau diferențiale de necunoscute (vezi imaginea), felicitări, aceasta este o ecuație diferențială și nu te poți descurca fără matematică superioară).

Surse:

Transformări de identitate

Pentru a rezolva problema cu în fracții, trebuie să înveți cum să faci aritmetică cu ei. Pot fi zecimale, dar cel mai adesea se folosesc fracții naturale cu numărător și numitor. Abia după aceasta putem trece la soluții probleme matematice cu valori fracționate.

Vei avea nevoie

- calculator;
- cunoașterea proprietăților fracțiilor;
- capacitatea de a efectua operatii cu fractii.

Instrucțiuni

O fracție este o notație pentru împărțirea unui număr la altul. Adesea, acest lucru nu poate fi realizat complet, motiv pentru care această acțiune este lăsată neterminată. Numărul care este divizibil (apare deasupra sau înaintea semnului fracției) se numește numărător, iar al doilea număr (sub sau după semnul fracției) se numește numitor. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, fracția se numește fracție improprie și o parte întreagă poate fi separată de ea. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci o astfel de fracție se numește proprie, iar partea sa întreagă este egală cu 0.

Sarcini sunt împărțite în mai multe tipuri. Stabiliți căruia dintre ele îi aparține sarcina. Cea mai simplă opțiune– găsirea fracției dintr-un număr exprimată ca fracție. Pentru a rezolva această problemă, trebuie doar să înmulțiți acest număr cu o fracție. De exemplu, au fost livrate 8 tone de cartofi. În prima săptămână s-au vândut 3/4 din ea numărul total. Câți cartofi au mai rămas? Pentru a rezolva această problemă, înmulțiți numărul 8 cu 3/4. Rezultă 8∙3/4=6 t.

Dacă trebuie să găsiți un număr după partea sa, înmulțiți partea cunoscută a numărului cu fracția inversă a celei care arată care este ponderea acestei părți în număr. De exemplu, 8 dintre ei reprezintă 1/3 din numărul total de studenți. Cati in? Deoarece 8 persoane este o parte care reprezintă 1/3 din total, atunci găsiți fracția reciprocă, care este 3/1 sau doar 3. Apoi pentru a obține numărul de elevi din clasa 8∙3=24 de elevi.

Când trebuie să aflați ce parte dintr-un număr este un număr dintr-un altul, împărțiți numărul care reprezintă partea la cel care este întregul. De exemplu, dacă distanța este de 300 km și mașina a parcurs 200 km, ce parte din distanța totală va fi aceasta? Împărțiți o parte din calea 200 la calea completă 300, după ce reduceți fracția obțineți rezultatul. 200/300=2/3.

Pentru a găsi o fracție necunoscută a unui număr atunci când există una cunoscută, luați întregul număr ca unitate convențională și scădeți fracția cunoscută din el. De exemplu, dacă 4/7 din lecție a trecut deja, mai este timp? Luați întreaga lecție ca unitate și scădeți 4/7 din ea. Obțineți 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

Să continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol vom intra în detaliu despre ecuații raționaleși principiile rezolvării ecuațiilor raționale cu o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce tip de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și fracționale și să dăm exemple. În continuare, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, desigur, vom lua în considerare soluții la exemple tipice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor menționate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , sunt toate ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, este clar că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi cu o variabilă, sau cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor în două variabile iar numărul lor mare merită o atenție deosebită.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în numere întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiție.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă, dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– acestea sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

Încheind acest punct, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile patratice cunoscute până în acest punct sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea acestora la unele echivalente ecuații algebrice. Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

mai întâi, expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero în partea dreaptă;
după aceasta, în partea stângă a ecuației forma standard rezultată.

Rezultatul este o ecuație algebrică care este echivalentă cu ecuația întreagă originală. Astfel, în cazurile cele mai simple, rezolvarea de ecuații întregi se reduce la rezolvarea de ecuații liniare sau pătratice, iar în cazul general, la rezolvarea unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să ne uităm la soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Soluţie.

Să reducem soluția acestei întregi ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom de formă standard completând necesarul: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, rezolvarea ecuației întregi inițiale se reduce la rezolvarea ecuației pătratice x 2 −5·x−6=0.

Îi calculăm discriminantul D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

Pentru a fi complet sigur, hai să o facem verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. Mai întâi verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, care este același, 63=63. Aceasta este o ecuație numerică validă, prin urmare x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1, avem 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Când x=−1, ecuația originală se transformă, de asemenea, într-o egalitate numerică corectă, prin urmare, x=−1 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

Aici trebuie remarcat, de asemenea, că termenul „gradul întregii ecuații” este asociat cu reprezentarea unei întregi ecuații sub forma unei ecuații algebrice. Să dăm definiția corespunzătoare:

Definiție.

Puterea întregii ecuații se numește gradul unei ecuații algebrice echivalente.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.

Acesta ar fi putut fi sfârșitul rezolvării unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru un singur lucru... După cum se știe, rezolvarea ecuațiilor algebrice de grad peste a doua este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad peste a patra nu există deloc formule generale de rădăcină. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi de gradul al treilea, al patrulea și de gradul superior, este adesea necesar să se recurgă la alte metode de rezolvare.

În astfel de cazuri, o abordare a rezolvării întregii ecuații raționale pe baza metoda factorizării. În acest caz, se respectă următorul algoritm:

în primul rând, se asigură că există un zero în partea dreaptă a ecuației, pentru a face acest lucru, ei transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce ne permite să trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul dat pentru rezolvarea unei întregi ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Soluţie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Aici este destul de evident că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că în partea stângă a ecuației rezultate putem x 2 −10 x+13 , prezentându-l astfel ca un produs. Avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0. Găsirea rădăcinilor lor folosind formule de rădăcină cunoscute printr-un discriminant nu este dificilă; Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

De asemenea, util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, vă permite să treceți la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul întregii ecuații originale.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale unei ecuații raționale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Soluţie.

Reducerea acestei ecuații raționale la o ecuație algebrică este, ca să spunem ușor, nu o idee foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Aici este ușor de observat că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3·x cu ea. Această înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , care, după mutarea expresiei −2·(y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formată acolo, se reduce la o ecuație pătratică y 2 +4·y+3=0. Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi selectate pe baza teoremei inverse teoremei lui Vieta.

Acum trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei înlocuiri inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3, care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Și a doua ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul ei este negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade înalte, trebuie să fim întotdeauna pregătiți să căutăm o metodă non-standard sau o tehnică artificială pentru rezolvarea lor.

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale

În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvați ecuații raționale fracționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii raționale întregi. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția altor ecuații raționale fracționale la soluția ecuațiilor de tipul indicat.

Una dintre abordările de rezolvare a ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracție numerică u/v , unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care este nedefinit), este egal cu zero dacă și numai dacă numărătorul său este zero, adică dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, rezolvarea ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0.

Această concluzie corespunde următoarelor algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma , aveți nevoie

rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce

dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
dacă nu este satisfăcută, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a algoritmului anunțat atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Aceasta este o ecuație rațională fracțională și de forma , unde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest tip, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3 x−2=0. Aceasta este o ecuație liniară a cărei rădăcină este x=2/3.

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5 x 2 −2≠0. Înlocuim numărul 2/3 în expresia 5 x 2 −2 în loc de x și obținem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Puteți aborda rezolvarea unei ecuații raționale fracționale dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu ecuația întreagă p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți să te ții de asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
găsiți ODZ a variabilei x;
iau rădăcini aparținând regiunii valorilor acceptabile - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

În primul rând, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0. Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru cel de-al doilea coeficient chiar pe care îl avem D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Și .

În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3·x≠0, care este la fel cu x·(x+3)≠0, de unde x≠0, x≠−3.

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite în primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este mai ales benefică dacă rădăcinile ecuației p(x) = 0 sunt iraționale, de exemplu, sau raționale, dar cu un numărător destul de mare și /sau numitorul, de exemplu, 127/1101 și −31/59. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita un efort de calcul semnificativ și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine folosind ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x) = 0 sunt numere întregi, este mai profitabil să se folosească primul algoritm dat. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele, mai degrabă decât să găsiți ODZ și apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, este de obicei mai ușor să verificați decât să găsiți DZ.

Să luăm în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele specificate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compusă folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este un produs, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una este pătratică; le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să verificați dacă numitorul fracției din partea stângă a ecuației inițiale dispare, dar determinarea ODZ, dimpotrivă, nu este atât de simplă, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvați un ecuația algebrică de gradul cinci. Prin urmare, vom abandona găsirea ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim unul câte unul în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Astfel, 1/2, 6 și −2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și −1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Aflați rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim rădăcinile ecuației (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu un set de două ecuații: pătrat 5 x 2 −7 x−1=0 și liniar x−2=0. Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.

Verificarea dacă numitorul ajunge la zero la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și determinarea intervalului de valori permise ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplă. Prin urmare, vom acționa prin ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale constă din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care tragem o concluzie despre ODZ: este format din tot x astfel încât .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin intervalului de valori acceptabile. Rădăcinile aparțin, prin urmare, sunt rădăcini ale ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor când într-o ecuație rațională fracțională de formă există un număr la numărător, adică când p(x) este reprezentat de un număr. în care

dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece o fracție este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu zero;
dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Soluţie.

Deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero, atunci pentru orice x valoarea acestei fracții nu poate fi egală cu zero. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale conține zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din ODZ a acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate valorile lui x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 =0 sunt 0 și −5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x+5)=0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 =0 și x +5=0, de unde sunt vizibile aceste rădăcini. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.

Răspuns:

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de formă arbitrară. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x), unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în perspectivă, să spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la o ecuație echivalentă, prin urmare ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s(x). )=0.

De asemenea, știm că orice , identic cu această expresie, este posibil. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuație, iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0.

Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că atunci când înlocuiți r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0, intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

În consecință, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0 la care am ajuns se pot dovedi a fi inegale, iar rezolvând ecuația p(x)=0, putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Puteți identifica și nu include rădăcini străine în răspuns fie efectuând o verificare, fie verificând dacă acestea aparțin ODZ a ecuației originale.

Să rezumam aceste informații în algoritm pentru rezolvarea ecuației raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , aveți nevoie

Obțineți zero în partea dreaptă mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
Efectuați operații cu fracții și polinoame în partea stângă a ecuației, transformând-o astfel într-o fracție rațională a formei.
Rezolvați ecuația p(x)=0.
Identificați și eliminați rădăcinile străine, ceea ce se face prin înlocuirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să ne uităm la soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a procesului de soluționare pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați o ecuație rațională fracțională.

Soluţie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi mutăm termenii din partea dreaptă a ecuației la stânga, ca rezultat trecem la ecuație.

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, reducem fracțiile raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată: . Așa că ajungem la ecuație.

În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2·x−1=0. Găsim x=−1/2.

Rămâne de verificat dacă numărul găsit −1/2 nu este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi VA variabilei x din ecuația originală. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem cu verificarea. Înlocuim numărul −1/2 în ecuația originală în loc de variabila x și obținem același lucru, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, deci x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul punct al algoritmului prin ODZ. Intervalul de valori permise ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (la x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită în pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație rațională fracțională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

Mai întâi, mutăm termenul din partea dreaptă la stânga, obținem .

În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0.

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită este străină ecuației raționale fracționale inițiale. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens pentru că conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7, ceea ce duce la Ec. De aici putem concluziona că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu cea a laturii drepte, adică . Acum scadem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcini ale ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Bibliografie.

Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.