Calculatoare 

Rădăcina pătrată a produsului, fracție și grad. Rădăcină pătrată

Formule de rădăcină. Proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care dintre ele există formule pentru rădăcini ce sunt proprietățile rădăcinilor, și ce se poate face cu toate acestea.

Formulele rădăcinilor, proprietățile rădăcinilor și regulile de lucru cu rădăcinile- acesta este în esență același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce cu siguranță mă face fericit! Sau, mai degrabă, puteți scrie o mulțime de formule diferite, dar pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini, doar trei sunt suficiente. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți oameni se încurcă în cele trei formule de rădăcină, da...

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Elevii întreabă mereu: „De ce nu pot folosi un calculator la examenul de matematică? Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără un calculator? Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără ajutorul unui calculator?

Acțiune rădăcină pătrată inversă acțiunii de pătrare.

√81= 9 9 2 =81

Dacă luați rădăcina pătrată a unui număr pozitiv și rezultatul la pătrat, obțineți același număr.

Din numere mici care sunt pătrate exacte ale numerelor naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, rădăcinile pătrate pot fi extrase oral. De obicei, la școală se preda un tabel cu pătrate de numere naturale până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extragi rădăcini pătrate din numerele 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numerele mai mari de 400 le poți extrage folosind metoda de selecție folosind câteva sfaturi. Să încercăm să privim această metodă cu un exemplu.

Exemplu: Extrageți rădăcina numărului 676.

Observăm că 20 2 = 400 și 30 2 = 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numărul 6 este dat de 4 2 și 6 2.
Aceasta înseamnă că, dacă rădăcina este luată de la 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne de verificat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Mai mult exemplu: √6889 .

Deoarece 80 2 = 6400 și 90 2 = 8100, atunci 80< √6889 < 90.
Numărul 9 este dat de 3 2 și 7 2, atunci √6889 este egal fie cu 83, fie cu 87.

Să verificăm: 83 2 = 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vă este dificil de rezolvat folosind metoda de selecție, puteți factoriza expresia radicală.

De exemplu, găsiți √893025.

Să factorizez numărul 893025, amintiți-vă, ați făcut asta în clasa a șasea.

Se obține: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mai mult exemplu: √20736. Să factorizăm numărul 20736:

Se obține √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Desigur, factorizarea necesită cunoașterea semnelor de divizibilitate și abilități de factorizare.

Și, în sfârșit, există regula pentru extragerea rădăcinilor pătrate. Să ne familiarizăm cu această regulă cu exemple.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina unui număr întreg cu mai multe cifre, îl împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin 2 cifre (marginea din stânga poate conține o cifră). O scriem astfel: 27’98’41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), luăm rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat perfect conținut în prima față din stânga (27).
Apoi pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut din prima față și următoarea față (98) se adaugă la diferență (scăzută).
În stânga numărului rezultat 298, scrieți cifra dublă a rădăcinii (10), împărțiți la ea numărul tuturor zecilor din numărul obținut anterior (29/2 ≈ 2), testați câtul (102 ∙ 2 = 204). nu trebuie să fie mai mare de 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, coeficientul rezultat 204 este scăzut din 298 și următoarea muchie (41) este adăugată la diferența (94).
În stânga numărului rezultat 9441, scrieți produsul dublu al cifrelor rădăcinii (52 ∙2 = 104), împărțiți numărul tuturor zecilor din numărul 9441 (944/104 ≈ 9) la acest produs, testați câtul (1049 ∙9 = 9441) ar trebui să fie 9441 și notează-l (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Am primit răspunsul √279841 = 529.

Extrageți în mod similar rădăcinile fracțiilor zecimale. Numai numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0,00956484.

Nu uitați că, dacă o fracție zecimală are un număr impar de zecimale, rădăcina pătrată nu poate fi extrasă din ea.

Deci acum ați văzut trei moduri de a extrage rădăcina. Alege-l pe cel care ti se potriveste cel mai bine si exerseaza-te. Pentru a învăța să rezolvi problemele, trebuie să le rezolvi. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Înainte de calculatoare, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

factorizare primara

    Factorizați numărul radical în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul radical, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi luată întreaga rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. În primul rând, încercați să factorizați numărul radical în factori pătrați.

    • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (de mână). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțirea a 400 la 25 dă 16. Numărul 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factorii pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
    • Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

  1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă pentru a lua rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

    • În exemplul nostru, luați rădăcina lui 25 și 16.
      • √(25 x 16)
      • √25 x √16
      • 5 x 4 = 20

  2. Dacă numărul radical nu se împarte în doi factori pătrați (și acest lucru se întâmplă în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului radical într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului comun.

    • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
      • = √(49 x 3)
      • = √49 x √3
      • = 7√3

  3. Dacă este necesar, estimați valoarea rădăcinii. Acum puteți estima valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul radical. Veți primi valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcinii.

    • Să revenim la exemplul nostru. Numărul radical este 3. Numerele pătrate cele mai apropiate de acesta vor fi numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 este situată între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 = 11,9. Dacă faci calculul pe un calculator, vei obține 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
      • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul radical este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta vor fi numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 este situată între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (pentru că 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem spune că √35 este puțin mai mic decât 6 Verificați pe calculator ne dă răspunsul 5.92 - am avut dreptate.

  4. Altă cale - factorizează numărul radical în factori primi . Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi într-o serie și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.

    • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Factorăm numărul radical în factori primi: 45 = 9 x 5 și 9 = 3 x 3. Astfel, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 poate fi scos ca semn rădăcină: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
    • Să ne uităm la un alt exemplu: √88.
      • = √(2 x 44)
      • = √ (2 x 4 x 11)
      • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai primit trei multiplicatori de 2; luați câteva dintre ele și mutați-le dincolo de semnul rădăcinii.
      • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum puteți evalua √2 și √11 și puteți găsi un răspuns aproximativ.

    Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

    Folosind diviziunea lungă

    1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii, trageți o linie orizontală la linia verticală. Acum împărțiți numărul radical în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul dat sub forma „7 80, 14” în stânga sus. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Veți scrie răspunsul (rădăcina acestui număr) în dreapta sus.

    2. Pentru prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un singur număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai apropiat, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n-ul pe care l-ați găsit în dreapta sus și scrieți pătratul lui n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

    3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga. Scrieți rezultatul calculului sub subtraendă (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 și obțineți 3.

    4. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublați numărul din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" în dreapta jos.

    5. Completați spațiile libere din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă punem numărul 8 în loc de liniuțe, atunci 48 x 8 = 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 va fi suficient. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 = 329. Scrieți 7 în dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14.

    6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub subtraend.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51.

    7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere care se transferă este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți un separator (virgulă) între părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată necesară în dreapta sus. În stânga, aduceți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu adăugarea lui „_×_=".

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi eliminată va fi partea fracțională a numărului 780,14, așa că plasați separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată dorită în dreapta sus. Luați 14 și scrieți-l în stânga jos. Numărul dublu din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

    8. Repetați pașii 5 și 6. Găsește una cel mai mare numărîn locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

    9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți câteva zerouri în stânga numărului curent și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți precizia răspunsului (numărul de zecimale) nevoie.

    Înțelegerea procesului

      Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată trebuie să o găsiți ca aria pătratului S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculăm valoarea lui L astfel încât L² = S.

      Dați câte o literă pentru fiecare număr din răspuns. Să notăm cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

      Specificați o literă pentru fiecare pereche de primele cifre. Să notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea lui S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

      Înțelegeți legătura dintre această metodă și împărțirea lungă. La fel ca în diviziune, unde ne interesează doar următoarea cifră a numărului pe care îl împărțim de fiecare dată, atunci când calculăm o rădăcină pătrată, lucrăm printr-o pereche de cifre în succesiune (pentru a obține următoarea cifră din valoarea rădăcinii pătrate ).

    1. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți rădăcina pătrată a acestuia.În acest caz, prima cifră A a valorii rădăcinii pătrate dorite va fi o cifră al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un A astfel încât inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

Este timpul să o rezolvi metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special, pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos ne vom uita la principalele metode de extragere a rădăcinilor una câte una.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabele de pătrate, cuburi etc. Dacă nu îl aveți la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care implică descompunerea numărului radical în factori primi.

Merită menționat în mod special ceea ce este posibil pentru rădăcinile cu exponenți impari.

În cele din urmă, să luăm în considerare o metodă care ne permite să găsim secvenţial cifrele valorii rădăcină.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabelele de pătrate, cuburi etc. vă permit să extrageți rădăcini. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să compuneți un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul mesei. Fiecare celulă este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția dintre rândul nostru de 8 zeci și coloana 3 de unități alese există o celulă cu numărul 6.889, care este pătratul numărului 83.


Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, numai că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. în consecință din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul utilizării lor la extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina a n-a a numărului a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul puterilor a n-a. Folosind acest tabel găsim numărul b astfel încât a=b n. Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum să folosiți un tabel cub pentru a extrage rădăcina cubului lui 19.683. Găsim numărul 19.683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este cubul numărului 27, prin urmare, .


Este clar că tabelele cu puterile a n-a sunt foarte convenabile pentru extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită ceva timp. Mai mult, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgeți la alte metode de extracție a rădăcinilor.

Factorizarea unui număr radical în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina unui număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul radical în factori primi. A lui ideea este aceasta: după aceea este destul de ușor să o reprezinte ca o putere cu exponentul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să lămurim acest punct.

Fie luată a n-a rădăcină a unui număr natural a și valoarea sa egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca oricare numar natural poate fi reprezentat ca produsul tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 · p 2 · … · p m , iar numărul radical a în acest caz este reprezentat ca (p 1 · p 2 · … · p m) n. Deoarece descompunerea unui număr în factori primi este unică, descompunerea radicalului a în factori primi va avea forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii la fel de .

Rețineți că dacă descompunerea în factori primi a unui număr radical a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atunci rădăcina a n-a a unui astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne dăm seama când rezolvăm exemplele.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144.

Soluţie.

Dacă te uiți la tabelul de pătrate din paragraful anterior, poți vedea clar că 144 = 12 2, din care este clar că rădăcina pătrată a lui 144 este egală cu 12.

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului radical 144 în factori primi. Să ne uităm la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2·2·2·2·3·3. Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile pentru încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a radicalului 243 are forma 243=3 5 . Prin urmare, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcină un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să factorăm numărul radical în factori primi și să vedem dacă acesta poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Expansiunea rezultată nu poate fi reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece puterea factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu poate fi extrasă complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să vă dați seama cum să extrageți rădăcina unui număr fracționar. Să se scrie numărul radical fracționar ca p/q. Conform proprietății rădăcinii unui cot, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul rădăcinii numărătorului împărțit la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a lui fracție comună 25/169 .

Soluţie.

Folosind tabelul de pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este egală cu 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este egală cu 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii fracției comune 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor radicale cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a fracției zecimale 474,552.

Soluţie.

Să ne imaginăm originalul zecimal ca fracție comună: 474,552=474552/1000. Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. Deoarece 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000 = 10 3, atunci Și . Mai rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Luarea rădăcinii unui număr negativ

Merită să ne oprim asupra extragerii rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci poate exista un număr negativ sub semnul rădăcinii. Am dat acestor intrări următoarea semnificație: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina unui număr negativ, trebuie să luați rădăcina numărului pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât să existe un număr pozitiv sub semnul rădăcinii: . Acum număr mixtînlocuiți-l cu o fracție obișnuită: . Aplicăm regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții obișnuite: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un scurt rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Determinarea pe biți a valorii rădăcinii

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar în acest caz este nevoie de a cunoaște semnificația unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți succesiv un număr suficient de valori de cifre ale numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până în momentul în care se obține un număr care depășește numărul radical. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea n în etapa anterioară va indica cifra corespunzătoare cea mai semnificativă.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luați numerele 0, 10, 100, ... și pătrați-le până obținem un număr mai mare de 5. Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra celor. Valoarea acestui bit, precum și a celor inferioare, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți pașii următori ai algoritmului au ca scop clarificarea succesivă a valorii rădăcinii prin găsirea valorilor următorilor biți ai valorii dorite a rădăcinii, începând cu cel mai mare și trecând la cei mai mici. De exemplu, valoarea rădăcinii la primul pas se dovedește a fi 2, la al doilea – 2,2, la al treilea – 2,23 și așa mai departe 2,236067977…. Să descriem cum sunt găsite valorile cifrelor.

Cifrele sunt găsite prin căutarea prin valorile lor posibile 0, 1, 2, ..., 9. În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul radical. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii; dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9.

Să explicăm aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi găsim valoarea cifrei unităților. Vom parcurge valorile 0, 1, 2, ..., 9, calculând 0 2, 1 2, ..., respectiv 9 2, până când obținem o valoare mai mare decât numărul radical 5. Este convenabil să prezentați toate aceste calcule sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (din moment ce 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zecimii. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile rezultate cu numărul radical 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, atunci valoarea locului zecimii este 2. Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Așa a fost găsită următoarea valoare a rădăcinii lui cinci, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

Mai întâi determinăm cea mai semnificativă cifră. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151.186. Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i determinăm valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, atunci valoarea locului zecilor este 1. Să trecem la unități.

Astfel, valoarea cifrei celor este 2. Să trecem la zecimi.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186, atunci valoarea locului zecimilor este 9. Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului; ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită cu o precizie de sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

√2601 = 51, deoarece (51) 2 = 2601.

Pe de altă parte, rețineți că numărul 2601 este produsul a doi factori, din care rădăcina poate fi extrasă cu ușurință:

Să luăm rădăcina pătrată a fiecărui factor și să înmulțim aceste rădăcini:

√9 * √289 = 3 * 17 = 51.

Aceleași rezultate le-am obținut atunci când am extras rădăcina din produsul de sub rădăcină, iar când am extras rădăcina din fiecare factor separat și am înmulțit rezultatele.

În multe cazuri, a doua metodă este mai ușor de găsit rezultatul, deoarece trebuie să luați rădăcina numerelor mai mici.

Teorema 1. Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui produs, o puteți extrage din fiecare factor separat și înmulți rezultatele.

Să demonstrăm teorema pentru trei factori, adică vom demonstra egalitatea:

Vom efectua demonstrația direct prin verificare, pe baza definiției unei rădăcini aritmetice.

Să presupunem că trebuie să dovedim egalitatea:

√A = B

(A și B sunt numere nenegative). Prin definiția unei rădăcini pătrate, aceasta înseamnă că

B2 = A.

Prin urmare, este suficient să pătrați partea dreaptă a egalității care se dovedește și să vă asigurați că se obține expresia radicală a părții stângi.

Să aplicăm acest raționament la demonstrația egalității (1). Să pătram partea dreaptă; dar în partea dreaptă este produsul, iar pentru a pătra produsul, este suficient să pătrați fiecare factor și să înmulțiți rezultatele (vezi § 40):

(√a √b √c) 2 = (√a) 2 (√b) 2 (√c) 2 = abc.

Rezultatul este o expresie radicală în partea stângă. Aceasta înseamnă că egalitatea (1) este adevărată.

Am demonstrat teorema pentru trei factori. Dar raționamentul va rămâne același dacă există 4, etc. factori sub rădăcină. Teorema este valabilă pentru orice număr de factori.

Exemplu.

Rezultatul este ușor de găsit pe cale orală.

2. Rădăcina unei fracții.

Să demonstrăm teorema.

Teorema 2. Pentru a extrage rădăcina unei fracții, puteți lua separat rădăcina numărătorului și numitorului și împărțiți primul rezultat la al doilea.

Este necesar să se dovedească valabilitatea egalității:

Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi metoda în care a fost demonstrată teorema anterioară.

Să pătram partea dreaptă. Vom avea:

Avem o expresie radicală în partea stângă. Aceasta înseamnă că egalitatea (2) este adevărată.

Deci, am dovedit următoarele identități:

și a formulat regulile corespunzătoare pentru extragerea rădăcinii pătrate a produsului și a coeficientului. Uneori, atunci când efectuați transformări trebuie să aplicați aceste identități, citindu-le de la dreapta la stânga.

Rearanjand părțile stânga și dreaptă, rescriem identitățile dovedite după cum urmează:

Pentru a multiplica rădăcinile, puteți înmulți expresiile radicale și puteți extrage rădăcina din produs.

Pentru a separa rădăcinile, puteți separa expresiile radicale și puteți extrage rădăcina din coeficient.

3. Rădăcina unei puteri.

În ambele exemple, am ajuns să avem baza expresiei radicalului la o putere egală cu câtul împărțirii exponentului la 2.

Să demonstrăm această propoziție în formă generală.

Teorema 3. Dacă m este un număr par, atunci

Pe scurt, ei spun asta: pentru a extrage rădăcina pătrată a unui grad, împărțiți exponentul la 2(fără a schimba baza).

Pentru demonstrație, vom folosi aceeași metodă de verificare care a fost folosită pentru a demonstra teoremele 1 și 2.

Deoarece m este un număr par (prin condiție), atunci este un număr întreg. Să pătratăm latura dreaptă a egalității (3), pentru care (vezi § 40) înmulțim exponentul cu 2 fără a schimba baza

Avem o expresie radicală în partea stângă. Aceasta înseamnă că egalitatea (3) este adevărată.

Exemplu. Calculati.
Calcularea a 76 ar necesita timp și muncă considerabilă. Teorema 3 vă permite să găsiți rezultatul oral.