Ecuație pătratică. Discriminant

Tutorial video 2: Rezolvarea ecuațiilor cuadratice

Lectura: Ecuații cuadratice

Ecuația

Ecuația- acesta este un fel de egalitate în expresiile căreia există o variabilă.

Rezolvați ecuația- înseamnă găsirea unui număr în locul unei variabile care îl va aduce în egalitatea corectă.

O ecuație poate avea o soluție, mai multe sau deloc.

Pentru a rezolva orice ecuație, ar trebui simplificată pe cât posibil la forma:

Liniar: a*x = b;

Pătrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Adică, orice ecuație trebuie convertită în formă standard înainte de rezolvare.

Orice ecuație poate fi rezolvată în două moduri: analitic și grafic.

Pe grafic, soluția ecuației este considerată a fi punctele în care graficul intersectează axa OX.

Ecuații cuadratice

O ecuație poate fi numită pătratică dacă, atunci când este simplificată, ia forma:

a*x 2 + b*x + c = 0.

în care a, b, c sunt coeficienți ai ecuației care diferă de zero. A "X"- rădăcina ecuației. Se crede că o ecuație pătratică are două rădăcini sau poate să nu aibă deloc o soluție. Rădăcinile rezultate pot fi aceleași.

"A"- coeficientul care stă înaintea rădăcinii pătrate.

"b"- stă înaintea necunoscutului în gradul I.

"Cu" este termenul liber al ecuației.

Dacă, de exemplu, avem o ecuație de forma:

2x 2 -5x+3=0

În el, „2” este coeficientul termenului principal al ecuației, „-5” este al doilea coeficient și „3” este termenul liber.

Rezolvarea unei ecuații pătratice

Există o mare varietate de moduri de a rezolva o ecuație pătratică. Cu toate acestea, într-un curs de matematică școlar, soluția este studiată folosind teorema lui Vieta, precum și folosind un discriminant.

Soluție discriminantă:

Când rezolvați folosind această metodă, este necesar să calculați discriminantul folosind formula:

Dacă în timpul calculelor descoperiți că discriminantul este mai mic decât zero, aceasta înseamnă că această ecuație nu are soluții.

Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația are două soluții identice. În acest caz, polinomul poate fi restrâns folosind formula de înmulțire prescurtată în pătratul sumei sau diferenței. Apoi rezolvați-o ca o ecuație liniară. Sau folosiți formula:

Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci trebuie să utilizați următoarea metodă:

teorema lui Vieta

Dacă este dată ecuația, adică coeficientul termenului principal este egal cu unu, atunci puteți utiliza teorema lui Vieta.

Deci, să presupunem că ecuația este:

Rădăcinile ecuației se găsesc după cum urmează:

Ecuație pătratică incompletă

Există mai multe opțiuni pentru obținerea unei ecuații pătratice incomplete, a cărei formă depinde de prezența coeficienților.

1. Dacă al doilea și al treilea coeficienți sunt zero (b = 0, c = 0), atunci ecuația pătratică va arăta astfel:

Această ecuație va avea o soluție unică. Egalitatea va fi adevărată numai dacă soluția ecuației este zero.

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! *Denumit în continuare „KU”. Prieteni, s-ar părea că nu poate fi nimic mai simplu în matematică decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii la cerere oferă Yandex pe lună. Iată ce s-a întâmplat, uite:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce legătură are această vară cu ea și ce se va întâmpla printre an scolar— vor fi de două ori mai multe cereri. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece băieții și fetele aceia care au absolvit școala cu mult timp în urmă și se pregătesc pentru Examenul Unificat de Stat caută aceste informații, iar școlarii se străduiesc și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care vă spun cum să rezolvați această ecuație, am decis să contribui și să public materialul. În primul rând, vreau ca vizitatorii să vină pe site-ul meu pe baza acestei solicitări; în al doilea rând, în alte articole, când apare subiectul „KU”, voi oferi un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși c sunt numere arbitrare, cu a≠0.

În cursul școlar, materialul este dat în următoarea formă - ecuațiile sunt împărțite în trei clase:

1. Au două rădăcini.

2. *Ai o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Merită remarcat în special aici faptul că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Trebuie să știi aceste formule pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

În acest sens, când discriminantul este egal cu zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Totul este corect, așa este, dar...

Această idee este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, obții două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci răspunsul ar trebui să scrie două rădăcini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală poți să-l notezi și să spui că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu poate fi luată, așa că nu există o soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Aceasta arată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole vom analiza în detaliu soluția la inegalitatea pătratică).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c – numere date, cu a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) și niciunul (discriminantul este negativ). Detalii despre funcția pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1: Rezolvați 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = –12

*A fost posibilă împărțirea imediată a părților stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificarea acesteia. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Am constatat că x 1 = 11 și x 2 = 11

Este permis să scrieți x = 11 în răspuns.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numerele complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică; acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Puțină teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi – acesta este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obținem două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Să luăm în considerare cazurile speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele pot fi rezolvate cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația devine:

Să convertim:

Exemplu:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația devine:

Să transformăm și să factorizăm:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care vă permit să rezolvați ecuații cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A + b+ c = 0, Acea

- dacă pentru coeficienţii ecuaţiei AX 2 + bx+ c=0 egalitatea este valabilă

A+ c =b, Acea

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma cotelor este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ceea ce înseamnă

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitatea este valabilă A+ c =b, Mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplu. Luați în considerare ecuația 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 – bx + c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în Ec. ax 2 + bx – c = 0 coeficient „b” este egal cu (a 2 – 1), și coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 – bx – c = 0 coeficientul „b” este egal cu (a 2 – 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, putem exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În total, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice pe cale orală.

Teorema lui Vieta, în plus. Este convenabil prin faptul că, după rezolvarea unei ecuații pătratice în mod obișnuit (printr-un discriminant), rădăcinile rezultate pot fi verificate. Recomand să faci asta mereu.

METODA DE TRANSPORT

Cu această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda „transferului”. Această metodă este folosită atunci când rădăcinile ecuației pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Dacă A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Folosind teorema lui Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 = 10 x 2 = 1

Rădăcinile rezultate ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Care este rațiunea? Uite ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt egali:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, obții doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul lui x 2:

Al doilea (modificat) are rădăcini de 2 ori mai mari.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă reluăm cele trei, vom împărți rezultatul la 3 etc.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp. ur-ie și examenul de stat unificat.

Vă voi spune pe scurt despre importanța sa - TREBUIE SĂ PUTEȚI DECIZI rapid și fără să stați pe gânduri, trebuie să cunoașteți pe de rost formulele rădăcinilor și discriminanților. Multe dintre problemele incluse în sarcinile Unified State Examination se rezumă la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv cele geometrice).

Ceva demn de remarcat!

1. Forma de scriere a unei ecuații poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o cantitate necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.

Ecuația formei

Expresie D= b 2 - 4 ac numit discriminant ecuație pătratică. DacăD = 0, atunci ecuația are o rădăcină reală; daca D> 0, atunci ecuația are două rădăcini reale.
În cazul în care D = 0 , se spune uneori că o ecuație pătratică are două rădăcini identice.
Folosind notația D= b 2 - 4 ac, putem rescrie formula (2) sub forma

Dacă b= 2k, atunci formula (2) ia forma:

Unde k= b / 2 .
Ultima formulă este deosebit de convenabilă în cazurile în care b / 2 - un număr întreg, adică coeficient b- număr par.
Exemplul 1: Rezolvați ecuația 2 X 2 - 5 x + 2 = 0 . Aici a = 2, b = -5, c = 2. Avem D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Deoarece D > 0 , atunci ecuația are două rădăcini. Să le găsim folosind formula (2)

Asa de X 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
acesta este X 1 = 2 Și X 2 = 1 / 2 - rădăcinile unei ecuații date.
Exemplul 2: Rezolvați ecuația 2 X 2 - 3 x + 5 = 0 . Aici a = 2, b = -3, c = 5. Găsirea discriminantului D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Deoarece D 0 , atunci ecuația nu are rădăcini reale.

Ecuații patratice incomplete. Dacă într-o ecuație pătratică topor 2 +bx+c =0 al doilea coeficient b sau membru gratuit c este egal cu zero, atunci se numește ecuația pătratică incomplet. Ecuațiile incomplete sunt evidențiate deoarece pentru a le găsi rădăcinile nu trebuie să utilizați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice - este mai ușor să rezolvați ecuația prin factorizarea părții stângi.
Exemplul 1: rezolva ecuația 2 X 2 - 5 x = 0 .
Avem X(2 x - 5) = 0 . Deci fie X = 0 , sau 2 X - 5 = 0 , acesta este X = 2.5 . Deci ecuația are două rădăcini: 0 Și 2.5
Exemplul 2: rezolva ecuația 3 X 2 - 27 = 0 .
Avem 3 X 2 = 27 . Prin urmare, rădăcinile acestei ecuații sunt 3 Și -3 .

teorema lui Vieta. Dacă ecuaţia pătratică redusă X 2 +px+q =0 are rădăcini reale, atunci suma lor este egală cu - p, iar produsul este egal q, acesta este

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(suma rădăcinilor ecuației pătratice de mai sus este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber).

Cu acest program de matematică poți rezolva ecuația pătratică.

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare în două moduri:
- folosirea unui discriminant
- folosind teorema lui Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este afișat ca exact, nu aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \(81x^2-16x-1=0\) răspunsul este afișat în următoarea formă:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ și nu așa: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Acest program poate fi util pentru elevii de liceu din școlile secundare în pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui polinom pătratic, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătratic

Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționale.
Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională poate fi separată de întreaga parte fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale astfel: 2,5x - 3,5x^2

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Toată parte separate de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

La introducerea unei expresii poti folosi paranteze. În acest caz, la rezolvarea unei ecuații pătratice, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decide

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Ecuația pătratică și rădăcinile ei. Ecuații patratice incomplete

Fiecare dintre ecuații
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
se pare ca
\(ax^2+bx+c=0, \)
unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere.
În prima ecuație a = -1, b = 6 și c = 1,4, în a doua a = 8, b = -7 și c = 0, în a treia a = 1, b = 0 și c = 4/9. Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice.

Definiție.
Ecuație cuadratică se numește ecuație de forma ax 2 +bx+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \).

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice. Numărul a se numește primul coeficient, numărul b este al doilea coeficient, iar numărul c este termenul liber.

În fiecare dintre ecuațiile de forma ax 2 +bx+c=0, unde \(a\neq 0\), cea mai mare putere a variabilei x este un pătrat. De aici și numele: ecuație pătratică.

Rețineți că o ecuație pătratică se mai numește și ecuație de gradul doi, deoarece partea stângă este un polinom de gradul doi.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul lui x 2 este egal cu 1 ecuație pătratică dată. De exemplu, ecuațiile pătratice date sunt ecuațiile
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Dacă într-o ecuație pătratică ax 2 +bx+c=0 cel puțin unul dintre coeficienții b sau c este egal cu zero, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică incompletă. Astfel, ecuațiile -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sunt ecuații patratice incomplete. În primul dintre ele b=0, în al doilea c=0, în al treilea b=0 și c=0.

Există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:
1) ax 2 +c=0, unde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, unde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor fiecăruia dintre aceste tipuri.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0 pentru \(c \neq 0 \), mutați termenul său liber în partea dreaptă și împărțiți ambele părți ale ecuației la a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Deoarece \(c \neq 0 \), atunci \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Dacă \(-\frac(c)(a)>0\), atunci ecuația are două rădăcini.

Dacă \(-\frac(c)(a) Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 cu \(b \neq 0 \) factorizează partea stângă și obținem ecuația
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrice)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrice) \right. \)

Aceasta înseamnă că o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0 și, prin urmare, are o singură rădăcină 0.

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne gândim acum cum să rezolvăm ecuații pătratice în care atât coeficienții necunoscutelor, cât și termenul liber sunt nenuli.

Să rezolvăm ecuația pătratică în vedere generalași ca rezultat obținem formula pentru rădăcini. Această formulă poate fi apoi utilizată pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Rezolvați ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0

Împărțind ambele părți la a, obținem ecuația pătratică redusă echivalentă
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Să transformăm această ecuație selectând pătratul binomului:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Expresia radicală se numește discriminant al unei ecuații pătratice ax 2 +bx+c=0 („discriminant” în latină - discriminator). Este desemnat prin litera D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Acum, folosind notația discriminantă, rescriem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), unde \(D= b^2-4ac \)

Este evident ca:
1) Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini.
2) Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Dacă D Astfel, în funcție de valoarea discriminantului, o ecuație pătratică poate avea două rădăcini (pentru D > 0), o rădăcină (pentru D = 0) sau să nu aibă rădăcini (pentru D Când se rezolvă o ecuație pătratică folosind aceasta formula, este recomandabil să procedați în felul următor:
1) calculați discriminantul și comparați-l cu zero;
2) dacă discriminantul este pozitiv sau egal cu zero, atunci utilizați formula rădăcinii; dacă discriminantul este negativ, atunci scrieți că nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Ecuația pătratică dată ax 2 -7x+10=0 are rădăcinile 2 și 5. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul este 10. Vedem că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient luat cu opusul semn, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice de mai sus este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Acestea. Teorema lui Vieta afirmă că rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 au proprietatea:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)