Produs încrucișat - definiții, proprietăți, formule, exemple și soluții.

Definiție O colecție ordonată de (x 1 , x 2 , ... , x n) n numere reale se numește vector n-dimensional, și numerele x i (i = ) - componente, sau coordonate,

Exemplu. Dacă, de exemplu, o anumită fabrică de automobile trebuie să producă 50 de mașini, 100 de camioane, 10 autobuze, 50 de seturi de piese de schimb pentru mașini și 150 de seturi pentru camioane și autobuze pe schimb, atunci programul de producție al acestei fabrici poate fi scris ca vector (50, 100, 10, 50, 150), având cinci componente.

Notaţie. Vectorii sunt indicați cu litere mici aldine sau litere cu o bară sau săgeată în partea de sus, de ex. A sau. Cei doi vectori sunt numiți egal, dacă au același număr de componente și componentele lor corespunzătoare sunt egale.

Componentele vectoriale nu pot fi schimbate, de exemplu, (3, 2, 5, 0, 1)și (2, 3, 5, 0, 1) vectori diferiți.
Operații pe vectori. Munca X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) printr-un număr realλ numit vectorλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

CantitateX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) și y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) se numește vector x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Spațiu vectorial. N -spațiu vectorial dimensional R n este definit ca multimea tuturor vectorilor n-dimensionali pentru care sunt definite operatiile de inmultire cu numere reale si de adunare.

Ilustrație economică. Ilustrarea economică a spațiului vectorial n-dimensional: spațiu al mărfurilor (bunuri). Sub bunuri vom înțelege un bun sau un serviciu care iese la vânzare la un anumit moment într-un anumit loc. Să presupunem că există un număr finit n de bunuri disponibile; cantităţile fiecăruia dintre ele achiziţionate de consumator se caracterizează printr-un set de bunuri

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

unde x i desemnează cantitatea celui de-al i-lea bun cumpărat de consumator. Vom presupune că toate bunurile au proprietatea divizibilității arbitrare, astfel încât orice cantitate nenegativă din fiecare dintre ele poate fi achiziționată. Atunci toate seturile posibile de bunuri sunt vectori ai spațiului bunurilor C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Independență liniară. Sistem e 1 , e 2 , ... , e se numesc m vectori n-dimensionali dependent liniar, dacă există astfel de numereλ 1 , λ 2 , ... , λ m , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, astfel încât egalitateaλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; în caz contrar, acest sistem de vectori se numește liniar independent, adică egalitatea indicată este posibilă numai în cazul în care toate . Semnificația geometrică a dependenței liniare a vectorilor în R 3, interpretate ca segmente dirijate, explicați următoarele teoreme.

Teorema 1. Un sistem format dintr-un vector este dependent liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.

Teorema 2. Pentru ca doi vectori să fie dependenți liniar, este necesar și suficient ca ei să fie coliniari (paraleli).

Teorema 3 . Pentru ca trei vectori să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari (se află în același plan).

Triple stânga și dreapta ale vectorilor. Triplul vectorilor necoplanari a, b, c numit dreapta, dacă observatorul de la originea lor comună ocolește capetele vectorilor a, b, cîn ordinea dată pare să apară în sensul acelor de ceasornic. In caz contrar a, b, c -lăsat trei. Se numesc toate triplele din dreapta (sau stânga) ale vectorilor aceeași orientat.

Baza și coordonatele. Troica e 1, e 2 , e 3 vectori necoplanari în R 3 se numește bază, și vectorii înșiși e 1, e 2 , e 3 - de bază. Orice vector A poate fi extins în mod unic în vectori de bază, adică reprezentați sub formă

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

numerele x 1 , x 2 , x 3 din expansiune (1.1) se numesc coordonateAîn bază e 1, e 2 , e 3 și sunt desemnate A(x 1, x 2, x 3).

Baza ortonormala. Dacă vectorii e 1, e 2 , e 3 sunt perpendiculare pe perechi și lungimea fiecăruia dintre ele este egală cu unu, atunci baza se numește ortonormal, iar coordonatele x 1 , x 2 , x 3 - dreptunghiular. Vectorii de bază ai unei baze ortonormale vor fi notați cu i, j, k.

Vom presupune că în spațiu R 3 este selectat sistemul drept de coordonate carteziene dreptunghiulare (0, i, j, k}.

Opera de artă vectorială. Opera de artă vectorială A a vector b numit vector c, care este determinată de următoarele trei condiții:

1. Lungimea vectorului c egal numeric cu aria unui paralelogram construit pe vectori AȘi b, adică
c= |a||b| păcat( A^b).

2. Vector c perpendicular pe fiecare dintre vectori AȘi b.

3. Vectori A, bȘi c, luate în ordinea indicată, formează un triplu drept.

Pentru un produs încrucișat c se introduce denumirea c =[ab] sau
c = a × b.

Dacă vectorii AȘi b sunt coliniare, apoi păcat( a^b) = 0 și [ ab] = 0, în special, [ aa] = 0. Produse vectoriale ale vectorilor unitari: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Dacă vectorii AȘi b specificate în bază i, j, k coordonate A(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), atunci

Munca mixta. Dacă produsul vectorial al doi vectori AȘi bînmulțit scalar cu al treilea vector c, atunci se numește un astfel de produs de trei vectori munca mixtași este indicată prin simbol A b c.

Dacă vectorii a, bȘi cîn bază i, j, k date de coordonatele lor
A(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), atunci

Produsul mixt are o interpretare geometrică simplă - este un scalar, egal în valoare absolută cu volumul unui paralelipiped construit pe trei vectori dați.

Dacă vectorii formează un triplu drept, atunci lor munca mixta există un număr pozitiv egal cu volumul specificat; dacă este un trei a, b, c - stânga, atunci a b c<0 и V = - a b c, prin urmare V =|a b c|.

Coordonatele vectorilor întâlniți în problemele din primul capitol se presupune că sunt date relativ la o bază ortonormală dreaptă. Vector unitar codirecțional cu vector A, indicat prin simbol A O. Simbol r=OM notat cu vectorul rază al punctului M, simbolurile a, AB sau|a|, | AB|se notează module de vectori AȘi AB.

Exemplu 1.2. Aflați unghiul dintre vectori A= 2m+4nȘi b= m-n, Unde mȘi n- vectorii unitari si unghiul dintre mȘi n egal cu 120 o.

Soluţie. Avem: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, ceea ce înseamnă a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, ceea ce înseamnă b = . În sfârșit avem: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Exemplul 1.3.Cunoașterea vectorilor AB(-3,-2,6) și B.C.(-2,4,4),calculați lungimea altitudinii AD a triunghiului ABC.

Soluţie. Notând aria triunghiului ABC cu S, obținem:
S = 1/2 î.Hr. Apoi AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, ceea ce înseamnă vector A.C. are coordonate
. .

Exemplu 1.4 . Sunt dați doi vectori A(11,10,2) și b(4,0,3). Găsiți vectorul unitar c, ortogonală la vectori AȘi bşi direcţionată astfel încât triplul ordonat al vectorilor a, b, c avea dreptate.

Soluţie.Să notăm coordonatele vectorului cîn raport cu o bază ortonormală dreaptă dată în termeni de x, y, z.

Deoarece c ⊥ a, c ⊥b, Acea ca= 0,cb= 0. După condiţiile problemei se cere ca c = 1 şi a b c >0.

Avem un sistem de ecuații pentru a afla x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Din prima și a doua ecuație ale sistemului obținem z = -4/3 x, y = -5/6 x. Înlocuind y și z în a treia ecuație, avem: x 2 = 36/125, de unde
x =± . Folosind condiția a b c > 0, obținem inegalitatea

Ținând cont de expresiile pentru z și y, rescriem inegalitatea rezultată sub forma: 625/6 x > 0, ceea ce presupune că x>0. Deci, x = , y = - , z =- .

Definiție. Produsul vectorial al vectorului a (multiplicand) și al unui vector necoliniar (multiplicand) este al treilea vector c (produs), care este construit după cum urmează:

1) modulul său este numeric egal cu aria paralelogramului din fig. 155), construit pe vectori, adică este egal cu direcția perpendiculară pe planul paralelogramului menționat;

3) în acest caz, se alege direcția vectorului c (dintre două posibile) astfel încât vectorii c să formeze un sistem de dreapta (§ 110).

Denumire: sau

Adăugarea la definiție. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci considerând că figura este (condițional) un paralelogram, este firesc să se atribuie o zonă zero. Prin urmare, produsul vectorial al vectorilor coliniari este considerat egal cu vectorul nul.

Deoarece vectorului nul i se poate atribui orice direcție, acest acord nu contrazice paragrafele 2 și 3 din definiție.

Observație 1. În termenul „produs vectorial” primul cuvânt indică faptul că rezultatul acțiunii este un vector (spre deosebire de un produs scalar; cf. § 104, observația 1).

Exemplul 1. Găsiți produsul vectorial în care sunt vectorii principali ai sistemului de coordonate drept (Fig. 156).

1. Deoarece lungimile vectorilor principali sunt egale cu o unitate de scară, aria paralelogramului (pătratului) este numeric egală cu unu. Aceasta înseamnă că modulul produsului vectorial este egal cu unu.

2. Deoarece perpendiculara pe plan este o axă, produsul vectorial dorit este un vector coliniar cu vectorul k; și deoarece ambele au modulul 1, produsul vectorial dorit este egal fie cu k, fie cu -k.

3. Dintre acești doi vectori posibili trebuie ales primul, întrucât vectorii k formează un sistem dreptaci (iar vectorii unul stânga).

Exemplul 2. Găsiți produsul încrucișat

Soluţie. Ca și în exemplul 1, concluzionăm că vectorul este egal fie cu k, fie cu -k. Dar acum trebuie să alegem -k, deoarece vectorii formează un sistem dreptaci (iar vectorii formează unul stânga). Asa de,

Exemplul 3. Vectorii au lungimi egale cu 80, respectiv 50 cm și formează un unghi de 30°. Luând metrul ca unitate de lungime, găsiți lungimea produsului vectorial a

Soluţie. Aria unui paralelogram construit pe vectori este egală cu Lungimea produsului vectorial dorit este egală cu

Exemplul 4. Aflați lungimea produsului vectorial al acelorași vectori, luând centimetri ca unitate de lungime.

Soluţie. Deoarece aria unui paralelogram construit pe vectori este egală, lungimea produsului vectorial este egală cu 2000 cm, adică.

Dintr-o comparație a exemplelor 3 și 4 este clar că lungimea vectorului depinde nu numai de lungimile factorilor, ci și de alegerea unității de lungime.

Semnificația fizică a unui produs vectorial. Dintre numeroasele mărimi fizice reprezentate de produsul vectorial, vom lua în considerare doar momentul forței.

Fie A punctul de aplicare al forței. Momentul forței relativ la punctul O se numește produs vectorial. Deoarece modulul acestui produs vectorial este numeric egal cu aria paralelogramului (Fig. 157), atunci modulul momentului este egal cu produsul dintre bază și înălțime, adică forța înmulțită cu distanța de la punctul O la dreapta de-a lungul căreia acționează forța.

În mecanică, este dovedit că pentru ca un corp rigid să fie în echilibru, este necesar ca nu numai suma vectorilor reprezentând forțele aplicate corpului să fie egală cu zero, ci și suma momentelor de forță. În cazul în care toate forțele sunt paralele cu un plan, adunarea vectorilor reprezentând momente poate fi înlocuită prin adăugarea și scăderea mărimilor acestora. Dar cu direcții arbitrare ale forțelor, o astfel de înlocuire este imposibilă. În conformitate cu aceasta, produsul vectorial este definit exact ca un vector, și nu ca un număr.

În această lecție ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs vectorial al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). Este în regulă, uneori se întâmplă că pentru fericire deplină, în plus produsul scalar al vectorilor, sunt necesare din ce în ce mai multe. Aceasta este dependența de vectori. Poate părea că intrăm în jungla geometriei analitice. Este gresit. În această secțiune a matematicii superioare există în general puțin lemn, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai complicat decât același produs scalar, vor fi chiar mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor fi convinși sau s-au lăsat deja convinși, este A NU FACE GREȘELI LA CALCULE. Repetă ca o vrajă și vei fi fericit =)

Dacă vectorii strălucesc undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv; am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în munca practica

Ce te va face fericit imediat? Când eram mică, puteam jongla cu două sau chiar trei bile. A mers bine. Acum nu va trebui să jonglați deloc, pentru că vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja este mai ușor!

Această operație, la fel ca și produsul scalar, implică doi vectori. Să fie acestea litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notat cuîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să notez produsul vectorial al vectorilor în acest fel, între paranteze pătrate cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produsul scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? Diferența evidentă este, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici provine numele operațiunii. În diverse literatură educațională desemnările pot varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs vectorial necoliniare vectori, luate în această ordine, numit VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Să descompunem definiția bucată cu bucată, există o mulțime de lucruri interesante aici!

Astfel, se pot evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectorii originali, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Se iau vectori într-o ordine strict definită: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” cu „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR, care este indicat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, obținem un vector egal ca lungime și opus ca direcție (culoarea zmeurului). Adică, egalitatea este adevărată .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectori. În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului vectorial nu este egală cu aria paralelogramului.

Să ne amintim una dintre formulele geometrice: Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula de calcul a LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că formula este despre LUNGIMEA vectorului și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este că în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Să obținem a doua formulă importantă. Diagonala unui paralelogram (linie punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită folosind formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata zmeură) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. În lecția despre trecerea la o nouă bază Am vorbit suficient de detaliat despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama ce este orientarea în spațiu. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector. Degetul inelar și degetul mic apăsați-l în palmă. Ca urmare deget mare– produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este o bază orientată spre dreapta (este cea din figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. S-ar putea să aveți o întrebare: ce bază a lăsat orientarea? „Atribuiți” acelorași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea la stânga a spațiului (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, orientarea spațiului este schimbată de cea mai obișnuită oglindă, iar dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în cazul general, acesta nu va fi posibil să-l combinați cu „originalul”. Apropo, ține trei degete de oglindă și analizează reflexia ;-)

...ce bine e despre care știi acum orientat spre dreapta și spre stânga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre o schimbare de orientare sunt înfricoșătoare =)

Produsul încrucișat al vectorilor coliniari

Definiția a fost discutată în detaliu, rămâne să aflăm ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este egal cu zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci . Strict vorbind, produsul vectorial în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și se scrie că este pur și simplu egal cu zero.

Un caz special este produsul încrucișat al unui vector cu el însuși:

Folosind produsul vectorial, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice este posibil să aveți nevoie tabel trigonometric pentru a găsi valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să aprindem focul:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod deliberat datele inițiale din clauze la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) În funcție de condiție, trebuie să găsiți lungime vector (produs încrucișat). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Dacă ați fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) În funcție de condiție, trebuie să găsiți pătrat paralelogram construit pe vectori. Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului vectorial:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că răspunsul nu vorbește deloc despre produsul vectorial; am fost întrebați despre zona figurii, în consecință, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să găsim în funcție de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există o mulțime de literaliști printre profesori, iar misiunea are șanse mari să fie returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o dispută deosebit de exagerată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest punct trebuie ținut întotdeauna sub control atunci când rezolvăm orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde a ajuns litera mare „en”? În principiu, ar fi putut fi atașat suplimentar la soluție, dar pentru a scurta intrarea, nu am făcut asta. Sper că toată lumea înțelege asta și este o desemnare pentru același lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună; triunghiurile te pot chinui în general.

Pentru a rezolva alte probleme vom avea nevoie de:

Proprietăți ale produsului vectorial al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei evidențiat în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) – mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) – asociativ sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele pot fi mutate cu ușurință în afara produsului vectorial. Serios, ce ar trebui să facă acolo?

4) – distribuție sau distributiv legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Pentru a demonstra, să ne uităm la un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Condiția necesită din nou găsirea lungimii produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, luăm constantele în afara domeniului produsului vectorial.

(2) Luăm constanta în afara modulului, iar modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Restul este clar.

Răspuns:

Este timpul să adăugați mai multă lemne la foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria triunghiului folosind formula . Problema este că vectorii „tse” și „de” sunt ei înșiși prezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției Produsul punctual al vectorilor. Pentru claritate, vom împărți soluția în trei etape:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, să exprimăm un vector în termeni de vector. Încă nu se vorbește despre lungimi!

(1) Înlocuiți expresiile vectorilor.

(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, mutăm toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, pașii 2 și 3 pot fi executați simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății frumoase. În al doilea termen folosim proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul sa dovedit a fi exprimat printr-un vector, care este ceea ce trebuia să fie realizat:

2) În a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Etapele 2-3 ale soluției ar fi putut fi scrise într-un singur rând.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Găsiți dacă

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: în linia de sus a determinantului scriem vectorii de coordonate, în a doua și a treia linie „punem” coordonatele vectorilor și punem în ordine strictă– mai întâi coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci rândurile ar trebui schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Soluţie: Verificarea se bazează pe una dintre afirmații această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor vectorial este egal cu zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Astfel, vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul va depinde de definiție, semnificația geometrică și câteva formule de lucru.

Un produs mixt de vectori este produsul a trei vectori:

Așa că s-au aliniat ca un tren și abia așteaptă să fie identificați.

Mai întâi, din nou, o definiție și o imagine:

Definiție: Lucru mixt necoplanare vectori, luate în această ordine, numit volum paralelipiped, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „–” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt desenate cu linii punctate:

Să ne aprofundăm în definiție:

2) Se iau vectori într-o anumită ordine, adică rearanjarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu are loc fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi observa un fapt evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi ușor diferit; sunt obișnuit să desemnez un produs mixt cu , iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

A-prioriu produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul unui paralelipiped dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne îngrijorăm din nou cu privire la conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, produsul amestecat poate fi negativ: .

Direct din definiție urmează formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înainte de a da conceptul de produs vectorial, să ne întoarcem la întrebarea orientării unui triplu ordonat al vectorilor a →, b →, c → în spațiul tridimensional.

Pentru început, să lăsăm deoparte vectorii a → , b → , c → dintr-un punct. Orientarea triplei a → , b → , c → poate fi dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului c → însuși. Tipul de triplă a → , b → , c → va fi determinat din direcția în care se face cea mai scurtă tură de la vectorul a → la b → de la capătul vectorului c → .

Dacă virajul cel mai scurt este efectuat în sens invers acelor de ceasornic, atunci triplul vectorilor a → , b → , c → se numește dreapta, dacă în sensul acelor de ceasornic - stânga.

În continuare, luăm doi vectori necoliniari a → și b →. Să reprezentăm apoi vectorii A B → = a → și A C → = b → din punctul A. Să construim un vector A D → = c →, care este simultan perpendicular atât pe A B → cât și pe A C →. Astfel, atunci când construim vectorul în sine A D → = c →, putem face două lucruri, dându-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

Un triplu ordonat al vectorilor a → , b → , c → poate fi, după cum am aflat, la dreapta sau la stânga în funcție de direcția vectorului.

Din cele de mai sus putem introduce definiția unui produs vectorial. Această definiție este dată pentru doi vectori definiți într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiția 1

Produsul vectorial al doi vectori a → și b → vom numi un astfel de vector definit într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional astfel încât:

dacă vectorii a → și b → sunt coliniari, va fi zero;
va fi perpendicular atât pe vectorul a → cât și pe vectorul b → adică. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
lungimea sa este determinată de formula: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
triplul vectorilor a → , b → , c → are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate dat.

Produsul vectorial al vectorilor a → și b → are următoarea notație: a → × b →.

Coordonatele produsului vectorial

Deoarece orice vector are anumite coordonate în sistemul de coordonate, putem introduce o a doua definiție a unui produs vectorial, care ne va permite să găsim coordonatele acestuia folosind coordonatele date ale vectorilor.

Definiția 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) se numește vector c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , unde i → , j → , k → sunt vectori de coordonate.

Produsul vectorial poate fi reprezentat ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul trei, unde primul rând conține vectorii vectori i → , j → , k → , al doilea rând conține coordonatele vectorului a → , iar al treilea rând conține coordonatele vectorului b → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, acesta este determinantul matricei arată astfel: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandând acest determinant în elementele primului rând, obținem egalitatea: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietățile unui produs încrucișat

Se știe că produsul vectorial în coordonate este reprezentat ca determinant al matricei c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , apoi pe baza proprietățile determinantului matricei sunt afișate următoarele proprietățile unui produs vectorial:

anticomutatie a → × b → = - b → × a → ;
distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
asociativitatea λ a → × b → = λ a → × b → sau a → × (λ b →) = λ a → × b →, unde λ este un număr real arbitrar.

Aceste proprietăți au dovezi simple.

Ca exemplu, putem demonstra proprietatea anticomutativă a unui produs vectorial.

Dovada anticomutativității

Prin definiție, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z și b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Și dacă două rânduri ale matricei sunt schimbate, atunci valoarea determinantului matricei ar trebui să se schimbe la opus, prin urmare, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , care și demonstrează că produsul vectorial este anticomutativ.

Produs vectorial - exemple și soluții

În cele mai multe cazuri, există trei tipuri de probleme.

În problemele de primul tip, lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei sunt de obicei date și trebuie să găsiți lungimea produsului vectorial. În acest caz, utilizați următoarea formulă c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Exemplul 1

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor a → și b → dacă cunoașteți a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Soluţie

Determinând lungimea produsului vectorial al vectorilor a → și b →, rezolvăm această problemă: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Răspuns: 15 2 2 .

Problemele de al doilea tip au o legătură cu coordonatele vectorilor, în ele produsul vectorial, lungimea acestuia etc. sunt căutate prin coordonatele cunoscute ale vectorilor dați a → = (a x; a y; a z) Și b → = (b x ; b y ; b z) .

Pentru acest tip de problemă, puteți rezolva o mulțime de opțiuni de activitate. De exemplu, nu pot fi specificate coordonatele vectorilor a → și b →, ci expansiunile lor în vectori de coordonate de forma b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → și c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, sau vectorii a → și b → pot fi specificați prin coordonatele începutului lor și punctele finale.

Luați în considerare următoarele exemple.

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular se dau doi vectori: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Găsiți produsul lor încrucișat.

Soluţie

Prin a doua definiție, găsim produsul vectorial al doi vectori în coordonate date: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Dacă scriem produsul vectorial prin determinantul matricei, atunci soluția acestui exemplu arată astfel: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Răspuns: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exemplul 3

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor i → - j → și i → + j → + k →, unde i →, j →, k → sunt vectorii unitari ai sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie

Mai întâi, să găsim coordonatele unui produs vectorial dat i → - j → × i → + j → + k → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat.

Se știe că vectorii i → - j → și i → + j → + k → au coordonatele (1; - 1; 0) și respectiv (1; 1; 1). Să aflăm lungimea produsului vectorial folosind determinantul matricei, atunci avem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Prin urmare, produsul vectorial i → - j → × i → + j → + k → are coordonate (- 1 ; - 1 ; 2) în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial folosind formula (vezi secțiunea despre găsirea lungimii unui vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Răspuns: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Exemplul 4

Într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, sunt date coordonatele a trei puncte A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Găsiți un vector perpendicular pe A B → și A C → în același timp.

Soluţie

Vectorii A B → și A C → au următoarele coordonate (- 1 ; 2 ; 2) și respectiv (0 ; 4 ; 1). După ce am găsit produsul vectorial al vectorilor A B → și A C →, este evident că este un vector perpendicular prin definiție atât pe A B → cât și pe A C →, adică este o soluție a problemei noastre. Să o găsim A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Răspuns: - 6 i → + j → - 4 k → . - unul dintre vectorii perpendiculari.

Problemele de al treilea tip sunt concentrate pe utilizarea proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea acesteia, vom obține o soluție la problema dată.

Exemplul 5

Vectorii a → și b → sunt perpendiculari și lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 4. Aflați lungimea produsului vectorial 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Soluţie

Prin proprietatea distributivă a unui produs vectorial, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Prin proprietatea asociativității, scoatem coeficienții numerici din semnul produselor vectoriale din ultima expresie: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Produsele vectoriale a → × a → și b → × b → sunt egale cu 0, deoarece a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 și b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, atunci 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Din anticomutativitatea produsului vectorial rezultă - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem egalitatea 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Prin condiție, vectorii a → și b → sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu π 2. Acum tot ce rămâne este să înlocuiți valorile găsite în formulele adecvate: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Răspuns: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Lungimea produsului vectorial al vectorilor prin definiție este egală cu a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Deoarece se știe deja (din cursul școlii) că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre aceste laturi. În consecință, lungimea produsului vectorial este egală cu aria paralelogramului - un triunghi dublat, și anume produsul laturilor sub forma vectorilor a → și b →, așezați dintr-un punct, de sinusul lui unghiul dintre ele sin ∠ a →, b →.

Acesta este sensul geometric al unui produs vectorial.

Semnificația fizică a produsului vectorial

În mecanică, una dintre ramurile fizicii, datorită produsului vectorial, puteți determina momentul unei forțe față de un punct din spațiu.

Definiția 3

Prin momentul forței F → aplicat punctului B, relativ la punctul A, vom înțelege următorul produs vectorial A B → × F →.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Vector unitar- Acest vector, a cărui valoare absolută (modul) este egală cu unitatea. Pentru a desemna un vector unitar, vom folosi indicele e. Deci, dacă este dat un vector A, atunci vectorul său unitar va fi vectorul A e. Acest vector unitar este îndreptat în aceeași direcție cu vectorul însuși A, iar modulul său este egal cu unu, adică a e = 1.

Evident, A= a A e (a - modul vectorial A). Aceasta rezultă din regula prin care se realizează operația de înmulțire a unui scalar cu un vector.

Vectori unitari adesea asociat cu axele de coordonate ale unui sistem de coordonate (în special, cu axele unui sistem de coordonate carteziene). Direcțiile acestora vectori coincid cu direcțiile axelor corespunzătoare, iar originile lor sunt adesea combinate cu originea sistemului de coordonate.

Lasă-mă să-ți amintesc asta Sistemul de coordonate cartezieneîn spațiu, se numește în mod tradițional un trio de axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct numit originea coordonatelor. Axele de coordonate sunt de obicei notate cu literele X, Y, Z și sunt numite axa absciselor, axa ordonatelor și, respectiv, axa aplicată. Descartes însuși a folosit o singură axă, pe care erau trasate abscisele. Meritul folosirii sisteme topoarele aparține elevilor săi. Prin urmare sintagma sistemul cartezian coordonate greșit din punct de vedere istoric. E mai bine să vorbim dreptunghiular sistem de coordonate sau sistem de coordonate ortogonal. Cu toate acestea, nu vom schimba tradițiile și în viitor vom presupune că sistemele de coordonate carteziene și dreptunghiulare (ortogonale) sunt unul și același.

Vector unitar, îndreptată de-a lungul axei X, se notează i, vector unitar, îndreptată de-a lungul axei Y, se notează j, A vector unitar, îndreptat de-a lungul axei Z, este notat k. Vectori i, j, k sunt numite orts(Fig. 12, stânga), au module unice, adică
i = 1, j = 1, k = 1.

Topoarele și vectori unitari sistem de coordonate dreptunghiularîn unele cazuri au denumiri și denumiri diferite. Astfel, axa de abscisă X poate fi numită axa tangentă, iar vectorul său unitar este notat τ (litera greacă mică tau), axa ordonatelor este axa normală, vectorul său unitar este notat n, axa aplicată este axa binormală, vectorul său unitar este notat b. De ce să schimbi numele dacă esența rămâne aceeași?

Faptul este că, de exemplu, în mecanică, atunci când se studiază mișcarea corpurilor, sistemul de coordonate dreptunghiular este folosit foarte des. Deci, dacă sistemul de coordonate însuși este staționar și modificarea coordonatelor unui obiect în mișcare este urmărită în acest sistem staționar, atunci de obicei axele sunt desemnate X, Y, Z și lor. vectori unitari respectiv i, j, k.

Dar adesea, atunci când un obiect se mișcă de-a lungul unei căi curbe (de exemplu, într-un cerc), este mai convenabil de luat în considerare procese mecaniceîntr-un sistem de coordonate care se deplasează cu acest obiect. Pentru un astfel de sistem de coordonate în mișcare sunt folosite alte nume de axe și vectorii lor unitari. Doar așa este. În acest caz, axa X este direcționată tangențial la traiectoria în punctul în care se află în prezent acest obiect. Și atunci această axă nu se mai numește axa X, ci axa tangentă, iar vectorul ei unitar nu mai este desemnat i, A τ . Axa Y este îndreptată de-a lungul razei de curbură a traiectoriei (în cazul mișcării într-un cerc - spre centrul cercului). Și deoarece raza este perpendiculară pe tangente, axa se numește axă normală (perpendiculară și normală sunt același lucru). Vectorul unitar al acestei axe nu mai este notat j, A n. A treia axă (fostă Z) este perpendiculară pe cele două anterioare. Acesta este un binormal cu orth b(Fig. 12, dreapta). Apropo, în acest caz așa sistem de coordonate dreptunghiular adesea denumite „naturale” sau naturale.