Rezolvarea ecuațiilor fracționale cu o necunoscută. „rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”

Până acum am rezolvat doar ecuații întregi în raport cu necunoscutul, adică ecuații în care numitorii (dacă există) nu conțineau necunoscutul.

De multe ori trebuie să rezolvați ecuații care conțin o necunoscută în numitori: astfel de ecuații se numesc ecuații fracționale.

Pentru a rezolva această ecuație, înmulțim ambele părți cu, adică cu polinomul care conține necunoscutul. Va fi noua ecuație echivalentă cu aceasta? Pentru a răspunde la întrebare, să rezolvăm această ecuație.

Înmulțind ambele părți cu , obținem:

Rezolvând această ecuație de gradul întâi, găsim:

Deci, ecuația (2) are o singură rădăcină

Înlocuind-o în ecuația (1), obținem:

Aceasta înseamnă că este și o rădăcină a ecuației (1).

Ecuația (1) nu are alte rădăcini. În exemplul nostru, acest lucru se poate observa, de exemplu, din faptul că în ecuația (1)

Cum trebuie să fie divizorul necunoscut egal cu dividendul 1 împărțit la câtul 2, adică

Deci, ecuațiile (1) și (2) au o singură rădăcină, ceea ce înseamnă că sunt echivalente.

2. Să rezolvăm acum următoarea ecuație:

Cel mai simplu numitor comun: ; înmulțiți toți termenii ecuației cu ea:

După reducere obținem:

Să extindem parantezele:

Aducând termeni similari, avem:

Rezolvând această ecuație, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem:

În partea stângă am primit expresii care nu au sens.

Aceasta înseamnă că ecuația (1) nu este o rădăcină. Rezultă că ecuațiile (1) și nu sunt echivalente.

În acest caz, ei spun că ecuația (1) a dobândit o rădăcină străină.

Să comparăm soluția ecuației (1) cu soluția ecuațiilor pe care le-am considerat mai devreme (vezi § 51). În rezolvarea acestei ecuații, a trebuit să efectuăm două operații care nu au fost întâlnite înainte: în primul rând, am înmulțit ambele părți ale ecuației cu o expresie care conține necunoscutul (numitorul comun), iar în al doilea rând, am redus fracțiile algebrice cu factori care conțin necunoscutul. .

Comparând ecuația (1) cu ecuația (2), vedem că nu toate valorile lui x care sunt valabile pentru ecuația (2) sunt valabile pentru ecuația (1).

Numerele 1 și 3 nu sunt valori acceptabile ale necunoscutului pentru ecuația (1), dar ca urmare a transformării au devenit acceptabile pentru ecuația (2). Unul dintre aceste numere s-a dovedit a fi o soluție a ecuației (2), dar, desigur, nu poate fi o soluție a ecuației (1). Ecuația (1) nu are soluții.

Acest exemplu arată că atunci când înmulțiți ambele părți ale unei ecuații cu un factor care conține necunoscutul și anulați fracții algebrice Se poate obține o ecuație care nu este echivalentă cu aceasta și anume: pot apărea rădăcini străine.

De aici tragem urmatoarea concluzie. Când se rezolvă o ecuație care conține o necunoscută în numitor, rădăcinile rezultate trebuie verificate prin substituție în ecuația originală. Rădăcinile străine trebuie aruncate.

Ecuațiile care conțin o variabilă la numitor pot fi rezolvate în două moduri:

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Folosind proprietatea de bază a proporției

Indiferent de metoda aleasă, după găsirea rădăcinilor ecuației, este necesar să se selecteze din valorile valabile găsite, adică pe cele care nu transformă numitorul în $0$.

1 cale. Reducerea fracțiilor la un numitor comun.

Exemplul 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Soluţie:

1. Să transferăm fracția din partea dreaptă a ecuației în stânga

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Pentru a face acest lucru corect, amintiți-vă că atunci când mutați elemente într-o altă parte a ecuației, semnul din fața expresiilor se schimbă în opus. Aceasta înseamnă că, dacă a existat un semn „+” în fața fracției din partea dreaptă, atunci va fi un semn „-” în fața lui în partea stângă. Apoi, în partea stângă, obținem diferența dintre fractii.

2. Acum să observăm că fracțiile au numitori diferiți, ceea ce înseamnă că pentru a compensa diferența este necesar să aducem fracțiile la un numitor comun. Numitorul comun va fi produsul polinoamelor din numitorii fracțiilor originale: $(2x-1)(x+3)$

Pentru a obține o expresie identică, numărătorul și numitorul primei fracții trebuie înmulțite cu polinomul $(x+3)$, iar a doua cu polinomul $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Să efectuăm o transformare în numărătorul primei fracții - înmulțirea polinoamelor. Să ne amintim că pentru aceasta este necesar să înmulțim primul termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom, apoi să înmulțim al doilea termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom și să adunăm rezultatele

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Să prezentăm termeni similari în expresia rezultată

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Să efectuăm o transformare similară în numărătorul celei de-a doua fracții - înmulțiți polinoamele

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$

Atunci ecuația va lua forma:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Acum fracțiile au același numitor, ceea ce înseamnă că puteți scădea. Amintiți-vă că atunci când scădeți fracții cu același numitor de la numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Să transformăm expresia în numărător. Pentru a deschide parantezele precedate de semnul „-”, trebuie să schimbați toate semnele din fața termenilor dintre paranteze la opus

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Să prezentăm termeni similari

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Apoi fracția va lua forma

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. O fracție este egală cu $0$ dacă numărătorul ei este 0. Prin urmare, echivalăm numărătorul fracției cu $0$.

\[(\rm 20х+4=0)\]

Să rezolvăm ecuația liniară:

4. Să eșantionăm rădăcinile. Aceasta înseamnă că este necesar să se verifice dacă numitorii fracțiilor originale se transformă în $0$ atunci când sunt găsite rădăcinile.

Să punem condiția ca numitorii să nu fie egali cu $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Aceasta înseamnă că toate valorile variabilelor sunt acceptabile, cu excepția -3$ și 0,5$ USD.

Rădăcina pe care am găsit-o este o valoare acceptabilă, ceea ce înseamnă că poate fi considerată în siguranță rădăcina ecuației. Dacă rădăcina găsită nu ar fi o valoare validă, atunci o astfel de rădăcină ar fi străină și, desigur, nu ar fi inclusă în răspuns.

Răspuns:$-0,2.$

Acum putem crea un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații care conține o variabilă în numitor

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații care conține o variabilă la numitor

Mutați toate elementele din partea dreaptă a ecuației la stânga. Pentru a obține o ecuație identică, este necesar să schimbați toate semnele din fața expresiilor din partea dreaptă în opus

Dacă în partea stângă primim o expresie cu numitori diferiți, atunci le reducem la una comună folosind proprietatea de bază a fracției. Efectuați transformări folosind transformări de identitate și obțineți o fracție finală egală cu $0$.

Echivalează numărătorul cu $0$ și găsește rădăcinile ecuației rezultate.

Să eșantionăm rădăcinile, adică găsiți valori valide ale variabilelor care nu fac numitorul $0$.

Metoda 2. Folosim proprietatea de bază a proporției

Principala proprietate a proporției este că produsul termenilor extremi ai proporției este egal cu produsul termenilor medii.

Exemplul 2

Folosim această proprietate pentru a rezolva această sarcină

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Să găsim și să echivalăm produsul dintre termenii extremi și medii ai proporției.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

După ce am rezolvat ecuația rezultată, vom găsi rădăcinile originalului

2. Să găsim valorile acceptabile ale variabilei.

Din soluția anterioară (metoda 1) am constatat deja că orice valoare este acceptabilă, cu excepția -3$ și 0,5$$.

Apoi, după ce am stabilit că rădăcina găsită este o valoare validă, am aflat că $-0,2$ va fi rădăcina.

Obiectivele lecției:

Educational:

formarea conceptului de ecuații raționale fracționale;
luați în considerare diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale;
luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero;
învață rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale folosind un algoritm;
verificarea nivelului de stăpânire a temei prin efectuarea unui test.

Dezvoltare:

dezvoltarea capacității de a opera corect cu cunoștințele dobândite și de a gândi logic;
dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare;
dezvoltarea inițiativei, a capacității de a lua decizii și să nu se oprească aici;
dezvoltarea gândirii critice;
dezvoltarea abilităților de cercetare.

Educarea:

stimularea interesului cognitiv pentru subiect;
promovarea independenței în rezolvarea problemelor educaționale;
hrănind voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicatie material nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Buna baieti! Sunt ecuații scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi în clasă? Formulați subiectul lecției. Așadar, deschideți caietele și notați subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic pe care trebuie să-l studiem subiect nou. Te rugăm să răspunzi la următoarele întrebări:

Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)
Cum se numește ecuația numărul 1? ( Liniar.) O metodă de rezolvare a ecuațiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Dați termeni similari. Găsiți un factor necunoscut).
Cum se numește ecuația numărul 3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Izolarea unui pătrat complet folosind formule folosind teorema lui Vieta și corolarele sale.)
Ce este proporția? ( Egalitatea a două rapoarte.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este corectă, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor de mijloc.)
Ce proprietăți se folosesc la rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă mutați un termen dintr-o ecuație dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, veți obține o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.)
Când o fracție este egală cu zero? ( O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul este zero și numitorul nu este zero..)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Ce ecuație rațională fracțională puteți încerca să rezolvați folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația numărul 7 folosind una dintre următoarele metode.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce există trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

Până acum, elevii nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină; într-adevăr, le este foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.

Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 există numere la numitor, nr. 5-7 sunt expresii cu o variabilă.)
Care este rădăcina unei ecuații? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine adevărată.)
Cum să afli dacă un număr este rădăcina unei ecuații? ( Faceți o verificare.)

Când testează, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care să ne permită să eliminăm această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, ceea ce înseamnă că 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii formulează ei înșiși algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

Mutați totul în partea stângă.
Reduceți fracțiile la un numitor comun.
Creați un sistem: o fracție este egală cu zero când numărătorul este egal cu zero și numitorul nu este egal cu zero.
Rezolvați ecuația.
Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
Scrieți răspunsul.

Discuție: cum să formalizezi soluția dacă folosiți proprietatea de bază a proporției și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun. (Adăugați la soluție: excludeți din rădăcinile sale pe cele care fac să dispară numitorul comun).

4. Înțelegerea inițială a noului material.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve ei înșiși ecuația în funcție de tipul de ecuație. Teme din manualul „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600(b,c,i); Nr. 601(a,e,g). Profesorul monitorizează finalizarea sarcinii, răspunde la orice întrebări care apar și oferă asistență elevilor cu performanțe scăzute. Autotest: răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 – rădăcină străină. Raspuns: 3.

c) 2 – rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1;1.5.

5. Stabilirea temelor.

Citiți paragraful 25 din manual, analizați exemplele 1-3.
Învață un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale.
Rezolvați în caietele Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601(g,h).
Încercați să rezolvați nr. 696(a) (opțional).

6. Realizarea unei sarcini de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe bucăți de hârtie.

Exemplu de sarcină:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este egală cu zero când numărătorul este ______________________ și numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației numărul 6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinii:

„5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină.
„4” - 75%-89%
„3” - 50%-74%
„2” este acordat unui student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină.
O nota de 2 nu este dată în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe fișele de lucru independente scrieți:

1 – dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine;
2 – interesant, dar nu clar;
3 – nu este interesant, dar de înțeles;
4 – nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Deci, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații căi diferite, și-au testat cunoștințele cu ajutorul unui training muncă independentă. Vei afla rezultatele muncii tale independente in urmatoarea lectie, iar acasa vei avea ocazia sa iti consolidezi cunostintele.

Care metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, în opinia dvs., este mai ușoară, mai accesibilă și mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce ar trebui să rețineți? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?

Mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Să continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol vom intra în detaliu despre ecuații raționaleşi principiile rezolvării ecuaţiilor raţionale cu o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce tip de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și fracționale și să dăm exemple. În continuare, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, desigur, vom lua în considerare soluții la exemple tipice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor menționate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , sunt toate ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, este clar că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi cu o variabilă, sau cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor în două variabile iar numărul lor mare merită o atenție deosebită.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în numere întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiție.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă; dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– acestea sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

Încheind acest punct, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile patratice cunoscute până în acest punct sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea acestora la unele echivalente ecuații algebrice. Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

mai întâi, expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero în partea dreaptă;
după aceasta, în partea stângă a ecuației forma standard rezultată.

Rezultatul este o ecuație algebrică care este echivalentă cu ecuația întreagă originală. Astfel, în cazurile cele mai simple, rezolvarea de ecuații întregi se reduce la rezolvarea de ecuații liniare sau pătratice, iar în cazul general, la rezolvarea unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să ne uităm la soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Soluţie.

Să reducem soluția acestei întregi ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom de formă standard completând necesarul: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, rezolvarea ecuației întregi inițiale se reduce la rezolvarea ecuației pătratice x 2 −5·x−6=0.

Îi calculăm discriminantul D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

Pentru a fi complet sigur, hai să o facem verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. Mai întâi verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, care este același, 63=63. Aceasta este o ecuație numerică validă, prin urmare x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1, avem 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Când x=−1, ecuația originală se transformă, de asemenea, într-o egalitate numerică corectă, prin urmare, x=−1 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

Aici trebuie remarcat, de asemenea, că termenul „gradul întregii ecuații” este asociat cu reprezentarea unei întregi ecuații sub forma unei ecuații algebrice. Să dăm definiția corespunzătoare:

Definiție.

Puterea întregii ecuații se numește gradul unei ecuații algebrice echivalente.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.

Acesta ar fi putut fi sfârșitul rezolvării unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru un singur lucru... După cum se știe, rezolvarea ecuațiilor algebrice de grad peste a doua este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad peste a patra nu există deloc formule generale de rădăcină. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi de gradul al treilea, al patrulea și de gradul superior, este adesea necesar să se recurgă la alte metode de rezolvare.

În astfel de cazuri, o abordare a rezolvării întregii ecuații raționale pe baza metoda factorizării. În acest caz, se respectă următorul algoritm:

în primul rând, se asigură că există un zero în partea dreaptă a ecuației, pentru a face acest lucru, ei transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce ne permite să trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul dat pentru rezolvarea unei întregi ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Soluţie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Aici este destul de evident că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea a formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că în partea stângă a ecuației rezultate putem x 2 −10 x+13 , prezentându-l astfel ca un produs. Avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0. Găsirea rădăcinilor lor folosind formule de rădăcină cunoscute printr-un discriminant nu este dificilă; rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

De asemenea, util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, vă permite să treceți la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul întregii ecuații originale.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale unei ecuații raționale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Soluţie.

Reducerea acestei întregi ecuații raționale la o ecuație algebrică este, ca să spunem ușor, o idee nu foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Aici este ușor de observat că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3·x cu ea. Această înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , care, după mutarea expresiei −2·(y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formată acolo, se reduce la o ecuație pătratică y 2 +4·y+3=0. Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi selectate pe baza teoremei inverse teoremei lui Vieta.

Acum trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei înlocuiri inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3, care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Iar al doilea ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul său este negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade înalte, trebuie să fim întotdeauna pregătiți să căutăm o metodă non-standard sau o tehnică artificială pentru rezolvarea lor.

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale

În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvați ecuații raționale fracționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii raționale întregi. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția altor ecuații raționale fracționale la soluția ecuațiilor de tipul indicat.

Una dintre abordările de rezolvare a ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracție numerică u/v , unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care este nedefinit), este egal cu zero dacă și numai dacă numărătorul său este zero, adică dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, rezolvarea ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0.

Această concluzie corespunde următoarelor algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma , aveți nevoie

rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce

dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
dacă nu este satisfăcută, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a algoritmului anunțat atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Aceasta este o ecuație rațională fracțională și de forma , unde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest tip, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3 x−2=0. Aceasta este o ecuație liniară a cărei rădăcină este x=2/3.

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5 x 2 −2≠0. Înlocuim numărul 2/3 în expresia 5 x 2 −2 în loc de x și obținem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Puteți aborda rezolvarea unei ecuații raționale fracționale dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu ecuația întreagă p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți să te ții de asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
găsiți ODZ a variabilei x;
iau rădăcini aparținând regiunii valorilor acceptabile - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

În primul rând, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0. Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru cel de-al doilea coeficient chiar pe care îl avem D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Și .

În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3·x≠0, care este la fel cu x·(x+3)≠0, de unde x≠0, x≠−3.

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite în primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este deosebit de benefică dacă rădăcinile ecuației p(x) = 0 sunt iraționale, de exemplu, sau raționale, dar cu un numărător destul de mare și /sau numitorul, de exemplu, 127/1101 și −31/59. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita un efort de calcul semnificativ și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine folosind ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x) = 0 sunt numere întregi, este mai profitabil să se folosească primul algoritm dat. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele, mai degrabă decât să găsiți ODZ și apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, este de obicei mai ușor să verificați decât să găsiți DZ.

Să luăm în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele specificate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compusă folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este un produs, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una este pătratică; le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să verificați dacă numitorul fracției din partea stângă a ecuației inițiale dispare, dar determinarea ODZ, dimpotrivă, nu este atât de simplă, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvați un ecuația algebrică de gradul cinci. Prin urmare, vom abandona găsirea ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim unul câte unul în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Astfel, 1/2, 6 și −2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și −1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Aflați rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim rădăcinile ecuației (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu un set de două ecuații: pătrat 5 x 2 −7 x−1=0 și liniar x−2=0. Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.

Verificarea dacă numitorul ajunge la zero la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și determinarea intervalului de valori permise ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplă. Prin urmare, vom acționa prin ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale constă din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care tragem o concluzie despre ODZ: constă din tot x astfel încât .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin intervalului de valori acceptabile. Rădăcinile aparțin, prin urmare, sunt rădăcini ale ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor când într-o ecuație rațională fracțională de formă există un număr la numărător, adică când p(x) este reprezentat de un număr. în care

dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece o fracție este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu zero;
dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Soluţie.

Deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero, atunci pentru orice x valoarea acestei fracții nu poate fi egală cu zero. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale conține zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din ODZ a acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate valorile lui x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 =0 sunt 0 și −5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x+5)=0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 =0 și x +5=0, de unde sunt vizibile aceste rădăcini. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.

Răspuns:

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de formă arbitrară. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x), unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în perspectivă, să spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la o ecuație echivalentă, prin urmare ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s(x). )=0.

De asemenea, știm că orice , identic cu această expresie, este posibil. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuație, iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0.

Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că atunci când înlocuiți r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0, intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

În consecință, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0 la care am ajuns se pot dovedi a fi inegale, iar rezolvând ecuația p(x)=0, putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Puteți identifica și nu include rădăcini străine în răspuns fie efectuând o verificare, fie verificând dacă acestea aparțin ODZ a ecuației originale.

Să rezumam aceste informații în algoritm pentru rezolvarea ecuației raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , aveți nevoie

Obțineți zero în partea dreaptă mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
Efectuați operații cu fracții și polinoame în partea stângă a ecuației, transformând-o astfel într-o fracție rațională a formei.
Rezolvați ecuația p(x)=0.
Identificați și eliminați rădăcinile străine, ceea ce se face prin înlocuirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să ne uităm la soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a procesului de soluționare pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați o ecuație rațională fracțională.

Soluţie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi mutăm termenii din partea dreaptă a ecuației la stânga, ca rezultat trecem la ecuație.

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, reducem fracțiile raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată: . Așa că ajungem la ecuație.

În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2·x−1=0. Găsim x=−1/2.

Rămâne de verificat dacă numărul găsit −1/2 nu este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi VA variabilei x din ecuația originală. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem cu verificarea. Înlocuim numărul −1/2 în ecuația originală în loc de variabila x și obținem același lucru, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, deci x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul punct al algoritmului prin ODZ. Intervalul de valori permise ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (la x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită în pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație rațională fracțională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

Mai întâi, mutăm termenul din partea dreaptă la stânga, obținem .

În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0.

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită este străină ecuației raționale fracționale inițiale. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens pentru că conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7, ceea ce duce la Ec. De aici putem concluziona că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu cea a laturii drepte, adică . Acum scadem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcini ale ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Bibliografie.

Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore.Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Aplicație

Rezolvarea oricărui tip de ecuații online pe site pentru elevi și școlari pentru consolidarea materialului studiat.Rezolvarea ecuațiilor online. Ecuații online. Există ecuații algebrice, parametrice, transcendentale, funcționale, diferențiale și alte tipuri de ecuații.Unele clase de ecuații au soluții analitice, care sunt convenabile deoarece nu numai că dau valoarea exactă a rădăcinii, dar vă permit și să scrieți soluția în forma unei formule, care poate include parametri. Expresiile analitice permit nu numai să se calculeze rădăcinile, ci și să se analizeze existența și cantitatea acestora în funcție de valorile parametrilor, ceea ce este adesea și mai important pentru aplicație practică, decât valorile specifice ale rădăcinilor. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online. Rezolvarea unei ecuații este sarcina de a găsi astfel de valori ale argumentelor la care se realizează această egalitate. Pot fi impuse valorile posibile ale argumentelor conditii suplimentare (întreg, real etc.). Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online. Puteți rezolva ecuația online instantaneu și cu mare precizie a rezultatului. Argumentele pentru funcțiile specificate (numite uneori „variabile”) sunt numite „necunoscute” în cazul unei ecuații. Valorile necunoscutelor la care se realizează această egalitate se numesc soluții sau rădăcini ale acestei ecuații. Se spune că rădăcinile satisfac această ecuație. Rezolvarea unei ecuații online înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor sale (rădăcini) sau a demonstra că nu există rădăcini. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online. Ecuațiile ale căror seturi de rădăcini coincid se numesc echivalente sau egale. Ecuațiile care nu au rădăcini sunt de asemenea considerate echivalente. Echivalența ecuațiilor are proprietatea de simetrie: dacă o ecuație este echivalentă cu alta, atunci a doua ecuație este echivalentă cu prima. Echivalența ecuațiilor are proprietatea tranzitivității: dacă o ecuație este echivalentă cu alta, iar a doua este echivalentă cu o a treia, atunci prima ecuație este echivalentă cu a treia. Proprietatea de echivalență a ecuațiilor ne permite să efectuăm transformări cu ele, pe care se bazează metodele de rezolvare a acestora. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online. Site-ul vă va permite să rezolvați ecuația online. Ecuațiile pentru care sunt cunoscute soluții analitice includ ecuații algebrice nu mai mari de gradul al patrulea: ecuația liniară, ecuația pătratică, ecuația cubică și ecuația de gradul al patrulea. Ecuațiile algebrice de grade superioare în cazul general nu au o soluție analitică, deși unele dintre ele pot fi reduse la ecuații de grade inferioare. Ecuațiile care includ funcții transcendentale sunt numite transcendentale. Dintre acestea, soluțiile analitice sunt cunoscute pentru unele ecuații trigonometrice, deoarece zerourile funcțiilor trigonometrice sunt bine cunoscute. În cazul general, când nu se poate găsi o soluție analitică, se folosesc metode numerice. Metodele numerice nu oferă o soluție exactă, ci permit doar să restrângă intervalul în care se află rădăcina la o anumită valoare predeterminată. Rezolvarea ecuațiilor online.. Ecuații online.. În loc de o ecuație online, ne vom imagina cum aceeași expresie formează o relație liniară, nu numai de-a lungul unei tangente drepte, ci și chiar în punctul de inflexie al graficului. Această metodă este indispensabilă în orice moment în studiul subiectului. Se întâmplă adesea ca rezolvarea ecuațiilor să se apropie de valoarea finală folosind numere infinite și scriind vectori. Este necesar să verificați datele inițiale și aceasta este esența sarcinii. În caz contrar, condiția locală este convertită într-o formulă. Inversarea în linie dreaptă dintr-o funcție dată, pe care calculatorul de ecuații o va calcula fără prea multă întârziere în execuție, offset-ul va servi drept privilegiu al spațiului. Vom vorbi despre succesul elevilor în mediul științific. Cu toate acestea, ca toate cele de mai sus, ne va ajuta în procesul de găsire și atunci când rezolvați complet ecuația, stocați răspunsul rezultat la capetele segmentului de linie dreaptă. Liniile din spațiu se intersectează într-un punct și acest punct se numește intersectat de drepte. Intervalul de pe linie este indicat așa cum a fost specificat anterior. Cel mai înalt post pentru studiul matematicii va fi publicat. Atribuirea unei valori de argument de pe o suprafață specificată parametric și rezolvarea ecuației online va putea contura principiile accesului productiv la o funcție. Fâșia Möbius, sau infinitul, așa cum este numită, arată ca o cifră opt. Aceasta este o suprafață cu o singură față, nu pe două fețe. Conform principiului general cunoscut de toată lumea, vom accepta în mod obiectiv ecuațiile liniare ca denumire de bază așa cum este în domeniul cercetării. Doar două valori ale argumentelor date secvențial sunt capabile să dezvăluie direcția vectorului. Presupunând că o altă soluție a ecuațiilor online este mult mai mult decât rezolvarea ei înseamnă obținerea unei versiuni cu drepturi depline a invariantului ca rezultat. Fără o abordare integrată, este dificil pentru studenți să învețe acest material. Ca și înainte, pentru fiecare caz special, calculatorul nostru de ecuații online convenabil și inteligent va ajuta pe toată lumea în momentele dificile, deoarece trebuie doar să specificați parametrii de intrare, iar sistemul însuși va calcula răspunsul. Înainte de a începe introducerea datelor, vom avea nevoie de un instrument de introducere, care poate fi făcut fără prea multe dificultăți. Numărul fiecărei estimări de răspuns va duce la o ecuație pătratică la concluziile noastre, dar acest lucru nu este atât de ușor de făcut, deoarece este ușor să demonstrăm contrariul. Teoria, datorită caracteristicilor sale, nu este susținută de cunoștințe practice. A vedea un calculator de fracții în stadiul publicării răspunsului nu este o sarcină ușoară în matematică, deoarece alternativa de a scrie un număr pe o mulțime ajută la creșterea creșterii funcției. Totuși, ar fi incorect să nu vorbim despre pregătirea studenților, așa că vom spune fiecare cât trebuie făcut. Ecuația cubică găsită anterior va aparține pe bună dreptate domeniului definiției și va conține spațiul valori numerice, precum și variabile simbolice. După ce au învățat sau memorat teorema, studenții noștri se vor arăta numai în cele mai bune condiții și ne vom bucura pentru ei. Spre deosebire de intersecțiile de câmpuri multiple, ecuațiile noastre online sunt descrise de un plan de mișcare prin înmulțirea a două și trei linii numerice combinate. Un set în matematică nu este definit în mod unic. Cea mai bună soluție, potrivit elevilor, este o înregistrare completă a expresiei. După cum s-a spus în limbajul științific, abstracția expresiilor simbolice nu intră în starea de fapt, dar soluția ecuațiilor dă un rezultat clar în toate cazurile cunoscute. Durata lecției profesorului depinde de nevoile acestei propuneri. Analiza a arătat necesitatea tuturor tehnicilor de calcul în multe domenii și este absolut clar că un calculator de ecuații este un instrument indispensabil în mâinile talentate ale unui student. O abordare loială a studiului matematicii determină importanța vederilor din diferite direcții. Doriți să identificați una dintre teoremele cheie și să rezolvați ecuația în așa fel, în funcție de răspunsul căruia va fi nevoie în continuare de aplicarea acesteia. Analytics în acest domeniu câștigă amploare. Să începem de la început și să obținem formula. După ce a depășit nivelul de creștere al funcției, linia de-a lungul tangentei la punctul de inflexiune va duce cu siguranță la faptul că rezolvarea ecuației online va fi unul dintre aspectele principale în construirea aceluiași grafic din argumentul funcției. O abordare amator are dreptul de a fi aplicată dacă această condiție nu contrazice concluziile studenților. Este subsarcina care pune analiza condițiilor matematice ca ecuații liniare în domeniul de definire existent al obiectului care este adus în plan secund. Compensarea în direcția ortogonalității reduce reciproc avantajul singuratic valoare absolută. Modul de rezolvare a ecuațiilor online oferă același număr de soluții dacă deschideți mai întâi parantezele cu semnul plus și apoi cu semnul minus. În acest caz, vor exista de două ori mai multe soluții, iar rezultatul va fi mai precis. Un calculator de ecuații online stabil și corect este succesul în atingerea scopului propus în sarcina stabilită de profesor. Se pare că este posibil să alegeți metoda potrivită din cauza diferențelor semnificative dintre opiniile marilor oameni de știință. Ecuația pătratică rezultată descrie curba liniilor, așa-numita parabolă, iar semnul îi va determina convexitatea în sistemul de coordonate pătrate. Din ecuație obținem atât discriminantul, cât și rădăcinile înseși conform teoremei lui Vieta. Primul pas este reprezentarea expresiei ca o fracție proprie sau improprie și utilizarea unui calculator de fracții. În funcție de aceasta, se va face planul pentru calculele noastre ulterioare. Matematica cu abordare teoretică va fi utilă în fiecare etapă. Cu siguranță vom prezenta rezultatul ca o ecuație cubică, deoarece îi vom ascunde rădăcinile în această expresie pentru a simplifica sarcina unui student la o universitate. Orice metode sunt bune dacă sunt potrivite pentru analize superficiale. Operațiile aritmetice suplimentare nu vor duce la erori de calcul. Determină răspunsul cu o precizie dată. Folosind soluția ecuațiilor, să recunoaștem - găsirea variabilei independente a unei anumite funcții nu este atât de ușoară, mai ales în perioada studierii dreptelor paralele la infinit. Având în vedere excepția, necesitatea este foarte evidentă. Diferența de polaritate este clară. Din experiența predării la institute, profesorul nostru a învățat principala lecție în care au fost studiate ecuațiile online în sensul matematic deplin. Aici vorbeam despre eforturi mai mari și abilități speciale în aplicarea teoriei. În favoarea concluziilor noastre, nu trebuie privit printr-o prismă. Până de curând, se credea că un set închis crește rapid peste regiune așa cum este și soluția ecuațiilor trebuie pur și simplu investigată. La prima etapă nu am luat în considerare totul opțiuni posibile, dar această abordare este mai justificată ca niciodată. Acțiunile suplimentare cu paranteze justifică unele avansuri de-a lungul axelor ordonatelor și absciselor, care nu pot fi ratate cu ochiul liber. În sensul unei creșteri proporționale extinse a funcției, există un punct de inflexiune. Încă o dată vom demonstra cum conditie necesara se va aplica pe tot parcursul intervalului de descreştere a uneia sau alteia poziţii descendente a vectorului. Într-un spațiu restrâns, vom selecta o variabilă din blocul inițial al scriptului nostru. Un sistem construit ca bază de-a lungul a trei vectori este responsabil pentru absența momentului principal de forță. Cu toate acestea, calculatorul de ecuații a generat și a ajutat la găsirea tuturor termenilor ecuației construite, atât deasupra suprafeței, cât și de-a lungul liniilor paralele. Să desenăm un cerc în jurul punctului de plecare. Astfel, vom începe să ne deplasăm în sus de-a lungul liniilor de secțiune, iar tangenta va descrie cercul pe toată lungimea sa, rezultând o curbă numită evolventă. Apropo, hai să spunem puțină istorie despre această curbă. Faptul este că din punct de vedere istoric în matematică nu a existat nici un concept de matematică în sine în înțelegerea ei pură, așa cum este astăzi. Anterior, toți oamenii de știință erau angajați într-o singură sarcină comună, adică știința. Mai târziu, câteva secole mai târziu, când lumea științifică plină cu o cantitate colosală de informații, omenirea a identificat încă multe discipline. Ele rămân încă neschimbate. Și totuși, în fiecare an, oamenii de știință din întreaga lume încearcă să demonstreze că știința este nelimitată și nu vei rezolva ecuația decât dacă ai cunoștințe în domeniu. Stiintele Naturii. S-ar putea să nu fie posibil să-i punem capăt definitiv. Să te gândești la asta este la fel de inutil ca să încălzi aerul de afară. Să găsim intervalul la care argumentul, dacă valoarea lui este pozitivă, va determina modulul valorii într-o direcție în creștere bruscă. Reacția vă va ajuta să găsiți cel puțin trei soluții, dar va trebui să le verificați. Să începem cu faptul că trebuie să rezolvăm ecuația online folosind serviciul unic al site-ului nostru. Să introducem ambele părți ale ecuației date, să facem clic pe butonul „SOLVE” și să obținem răspunsul exact în doar câteva secunde. ÎN cazuri speciale Să luăm o carte despre matematică și să ne verificăm de două ori răspunsul, și anume, să ne uităm doar la răspuns și totul va deveni clar. Același proiect pentru un paralelipiped artificial redundant va zbura. Există un paralelogram cu laturile sale paralele și explică multe principii și abordări pentru studierea relației spațiale a procesului ascendent de acumulare a spațiului gol în formule naturale. Ecuațiile liniare ambigue arată dependența variabilei dorite de soluția noastră generală la un moment dat și trebuie cumva să derivăm și să aducem fracția improprie într-un caz netrivial. Marcați zece puncte pe linia dreaptă și trasați o curbă prin fiecare punct în direcția dată, cu punctul convex în sus. Fără dificultăți speciale, calculatorul nostru de ecuații va prezenta o expresie într-o asemenea formă încât verificarea ei pentru validitatea regulilor să fie evidentă chiar și la începutul înregistrării. Sistemul de reprezentări speciale ale stabilității pentru matematicieni este primul, cu excepția cazului în care formulă prevede altfel. Vom răspunde la aceasta printr-o prezentare detaliată a unui raport pe tema stării izomorfe a unui sistem plastic de corpuri și rezolvarea de ecuații online va descrie mișcarea fiecărui punct material din acest sistem. La nivelul cercetării aprofundate, va fi necesar să se clarifice în detaliu problema inversiunilor cel puțin ale stratului inferior al spațiului. Urcând în secțiunea în care funcția este discontinuă, vom aplica metoda generală a unui excelent cercetător, de altfel, compatriotul nostru, și vom povesti mai jos despre comportamentul avionului. Datorită caracteristicilor puternice ale unei funcții definite analitic, folosim calculatorul de ecuații online numai pentru scopul propus, în limitele de autoritate derivate. Raționând în continuare, ne vom concentra revizuirea asupra omogenității ecuației în sine, adică partea dreaptă a acesteia este egală cu zero. Să ne asigurăm încă o dată că decizia noastră în matematică este corectă. Pentru a evita obținerea unei soluții banale, vom face câteva ajustări la condițiile inițiale pentru problema stabilității condiționate a sistemului. Să creăm o ecuație pătratică, pentru care scriem două intrări folosind o formulă binecunoscută și găsim rădăcinile negative. Dacă o rădăcină este cu cinci unități mai mare decât a doua și a treia rădăcină, atunci prin modificarea argumentului principal denaturăm condițiile inițiale ale subsarcinii. Prin însăși natura sa, ceva neobișnuit în matematică poate fi întotdeauna descris la cea mai apropiată sutime dintr-un număr pozitiv. Calculatorul de fracții este de câteva ori superior analogilor săi pe resurse similare în cel mai bun moment al încărcării serverului. Pe suprafața vectorului viteză care crește de-a lungul axei ordonatelor, desenăm șapte linii, îndoite în direcții opuse una față de cealaltă. Comensurabilitatea argumentului funcției atribuite este înaintea citirilor contorului soldului de recuperare. În matematică, putem reprezenta acest fenomen printr-o ecuație cubică cu coeficienți imaginari, precum și în progresia bipolară a liniilor descrescătoare. Puncte critice Diferențele de temperatură descriu în multe feluri procesul de descompunere a unei funcții fracționale complexe în factori. Dacă vi se spune să rezolvați o ecuație, nu vă grăbiți să o faceți imediat, cu siguranță evaluați mai întâi întregul plan de acțiune și abia apoi luați abordarea corectă. Cu siguranță vor exista beneficii. Ușurința de lucru este evidentă și același lucru este valabil și în matematică. Rezolvați ecuația online. Toate ecuațiile online reprezintă un anumit tip de înregistrare a numerelor sau a parametrilor și o variabilă care trebuie determinată. Calculați chiar această variabilă, adică găsiți valori specifice sau intervale ale unui set de valori la care se va menține identitatea. Condițiile inițiale și finale depind direct. ÎN decizie comună Ecuațiile includ de obicei unele variabile și constante, prin stabilirea cărora vom obține familii întregi de soluții pentru o anumită enunțare a problemei. În general, acest lucru justifică eforturile investite în creșterea funcționalității unui cub spațial cu latura egală cu 100 de centimetri. Puteți aplica o teoremă sau o lemă în orice stadiu al construirii unui răspuns. Site-ul produce treptat un calculator de ecuații dacă este necesar să se arate cea mai mică valoare la orice interval de însumare a produselor. În jumătate din cazuri, o astfel de minge, fiind goală, nu mai îndeplinește cerințele pentru stabilirea unui răspuns intermediar. Cel puțin pe axa ordonatelor în direcția reprezentării vectoriale descrescătoare, această proporție va fi fără îndoială mai optimă decât expresia anterioară. La ora în care se efectuează o analiză completă a punctelor pe funcții liniare, vom reuni, de fapt, toate numerele noastre complexe și spațiile plane bipolare. Prin înlocuirea unei variabile în expresia rezultată, veți rezolva ecuația pas cu pas și veți oferi cel mai detaliat răspuns cu mare precizie. Ar fi o formă bună din partea unui elev să-și verifice încă o dată acțiunile la matematică. Proporția în raportul fracțiilor a înregistrat integritatea rezultatului în toate domeniile importante de activitate ale vectorului zero. Trivialitatea este confirmată la sfârșitul acțiunilor finalizate. Cu o sarcină simplă, elevii s-ar putea să nu aibă dificultăți dacă rezolvă ecuația online în cel mai scurt timp posibil, dar nu uitați de toate regulile diferite. O mulțime de submulțimi se intersectează într-o regiune de notație convergentă. În diferite cazuri, produsul nu este factorizat în mod eronat. Veți fi ajutat să rezolvați ecuația online în prima noastră secțiune, dedicată noțiunilor de bază ale tehnicilor matematice pentru secțiuni importante pentru studenții din universități și colegii tehnice. Nu va trebui să așteptăm câteva zile pentru răspunsuri, deoarece procesul de cea mai bună interacțiune a analizei vectoriale cu găsirea secvențială a soluțiilor a fost brevetat la începutul secolului trecut. Se pare că eforturile de a stabili relații cu echipa din jur nu au fost în zadar; evident că mai întâi era nevoie de altceva. Câteva generații mai târziu, oamenii de știință din întreaga lume i-au făcut pe oameni să creadă că matematica este regina științelor. Indiferent dacă răspunsul este la stânga sau la dreapta, termenii exhaustivi mai trebuie să fie scrisi pe trei rânduri, deoarece în cazul nostru vom vorbi cu siguranță doar despre analiza vectorială a proprietăților matricei. Ecuațiile neliniare și liniare, împreună cu ecuațiile biquadratice, au un loc special în cartea noastră despre cele mai bune practici calcularea traiectoriei mișcării în spațiul tuturor punctelor materiale ale unui sistem închis. O analiză liniară a produsului scalar a trei vectori consecutivi ne va ajuta să aducem ideea la viață. La sfârșitul fiecărei instrucțiuni, sarcina este simplificată prin implementarea excepțiilor numerice optimizate în suprapunerile de spațiu numeric efectuate. O judecată diferită nu va contrasta răspunsul găsit în forma arbitrară a unui triunghi într-un cerc. Unghiul dintre doi vectori conține procentul necesar al marjei, iar rezolvarea ecuațiilor online dezvăluie adesea o anumită rădăcină comună a ecuației, spre deosebire de condițiile inițiale. Excepția joacă rolul de catalizator în întregul proces inevitabil al găsirii unei soluții pozitive în domeniul definirii unei funcții. Dacă nu se spune că nu poți folosi un computer, atunci un calculator de ecuații online este potrivit pentru problemele tale dificile. Trebuie doar să introduceți datele dumneavoastră condiționate în formatul corect, iar serverul nostru va emite un răspuns cu drepturi depline în cel mai scurt timp posibil. O funcție exponențială crește mult mai repede decât una liniară. Talmudele literaturii inteligente de bibliotecă mărturisesc acest lucru. Va efectua un calcul în sens general, așa cum ar face o ecuație pătratică dată cu trei coeficienți complexi. Parabola din partea superioară a semiplanului caracterizează mișcarea paralelă rectilinie de-a lungul axelor punctului. Aici merită menționată diferența de potențial în spațiul de lucru al corpului. În schimbul unui rezultat suboptim, calculatorul nostru de fracțiuni ocupă pe bună dreptate prima poziție în evaluarea matematică a revizuirii programelor funcționale pe partea serverului. Ușurința în utilizare a acestui serviciu va fi apreciată de milioane de utilizatori de Internet. Dacă nu știi cum să-l folosești, vom fi bucuroși să te ajutăm. De asemenea, am dori să notăm și să evidențiem în mod special ecuația cubică dintr-un număr de probleme de școală primară, atunci când este necesar să-i găsim rapid rădăcinile și să construim un grafic al funcției pe un plan. Gradele mai înalte de reproducere sunt una dintre cele mai dificile probleme matematice la institut și se alocă un număr suficient de ore pentru studiul acestuia. Ca toate ecuațiile liniare, ale noastre nu fac excepție după multe reguli obiective; priviți din puncte de vedere diferite și se dovedește a fi simplu și suficient pentru a stabili condițiile inițiale. Intervalul de creștere coincide cu intervalul de convexitate al funcției. Rezolvarea ecuațiilor online. Studiul teoriei se bazează pe ecuații online din numeroase secțiuni privind studiul disciplinei principale. În cazul acestei abordări în problemele incerte, este foarte simplu să prezentați soluția ecuațiilor într-o formă predeterminată și nu numai să trageți concluzii, ci și să preziceți rezultatul unei astfel de soluții pozitive. Un serviciu în cele mai bune tradiții ale matematicii ne va ajuta să învățăm domeniul, așa cum este obișnuit în Est. În cele mai bune momente ale intervalului de timp, sarcinile similare au fost înmulțite cu un factor comun de zece. Abundența înmulțirilor mai multor variabile în calculatorul de ecuații a început să se înmulțească mai degrabă prin calitate decât cu variabile cantitative, cum ar fi masa sau greutatea corporală. Pentru a evita cazurile de dezechilibru al sistemului material, ne este destul de evidentă derivarea unui transformator tridimensional pe convergența banală a matricelor matematice nedegenerate. Finalizați sarcina și rezolvați ecuația în coordonatele date, deoarece concluzia este necunoscută în prealabil, la fel ca toate variabilele incluse în timpul post-spațial. Pe Pe termen scurt mutați factorul comun dincolo de paranteze și împărțiți în avans ambele părți la cel mai mare factor comun. Din subsetul de numere acoperit rezultat, extrageți într-o manieră detaliată treizeci și trei de puncte la rând într-o perioadă scurtă. În măsura în care în cel mai bun mod posibil Rezolvarea unei ecuații online este posibilă pentru fiecare student. Privind în viitor, să spunem un lucru important, dar cheie, fără de care va fi dificil să trăiești în viitor. În secolul trecut, marele om de știință a observat o serie de modele în teoria matematicii. În practică, rezultatul nu a fost chiar impresia așteptată a evenimentelor. Cu toate acestea, în principiu, tocmai această soluție a ecuațiilor online ajută la îmbunătățirea înțelegerii și percepției unei abordări holistice a studiului și a consolidării practice a materialului teoretic acoperit de studenți. Este mult mai ușor să faci asta în timpul studiilor.