Subiect de studiu al teoriei probabilităților. Exemple de fenomene aleatorii

Teoria probabilității: știința aleatoriei
Rezumat al unui elev de clasa a 9-a „A” a școlii secundare nr. 1054 Valishev Timur
1. Introducere.
La prima vedere, poate părea că există și nu pot exista legi care guvernează fenomenele întâmplătoare. Cu toate acestea, dacă te uiți la el, fenomenele întâmplătoare nu apar atât de haotic. În multe cazuri, apar tipare. Aceste tipare nu sunt ca legile obișnuite ale fenomenelor fizice; sunt foarte diverse.
Luați jocul cu monede de exemplu. La aruncare, pot exista două rezultate la fel de probabile: moneda poate ateriza capul sau coada. Când arunci o monedă o dată, nu poți prezice care parte va ajunge în partea de sus. Cu toate acestea, după ce ați aruncat o monedă de 100 de ori, puteți trage concluzii. Puteți spune dinainte că stema va apărea nu de 1 sau 2 ori, ci de mai multe, dar nu de 99 sau 98 de ori, ci mai puțin. Numărul de picături ale stemei va fi aproape de 50. De fapt, și din experiență se poate convinge de asta că acest număr va fi între 40 și 60.
De asemenea, se stabilește statistic că la 1000 de copii sunt 511 băieți și 489 fete (adică 48,9%, respectiv 51,1%). Această consistență uimitoare a fost remarcată de mulți oameni de știință, inclusiv de Simon Laplace, unul dintre fondatorii Teoriei. Aceste informații ne permit să anticipăm cu mare acuratețe probabilitatea numărului de băieți sau fete într-un anumit an (aceste calcule, de exemplu, sunt folosite de consiliul de proiect).
2. Definiții și concepte de bază ale Teoriei.
Acum să trecem la expresia algebrică a Teoriei. Iată definiția clasică:
definiție: Fie setul de rezultate ale unui experiment format din n rezultate la fel de probabile. Dacă m dintre ei favorizează evenimentul A, atunci probabilitatea evenimentului A este numărul

Dând o astfel de definiție, ne așteptăm ca (datorită echiprobabilității rezultatelor experimentului) cu repetarea de n ori a experimentului, evenimentul A să apară în cazuri (aceasta este tocmai valoarea practică a Teoriei).
Este necesar să explicăm câteva concepte ale Teoriei care vor fi necesare mai târziu:
Un anumit eveniment este un eveniment care trebuie neapărat să aibă loc ca urmare a experienței. Un astfel de eveniment este desemnat de litera E (așteptată)
Un eveniment imposibil este un eveniment care nu poate avea loc ca urmare a experienței. Un astfel de eveniment este desemnat de litera U (Ireal)
Evenimentele incompatibile sunt evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a experienței.
Evenimentele comune sunt evenimente care pot avea loc simultan ca urmare a unei experiențe.
Evenimentul A favorizează evenimentul B dacă evenimentul B decurge din apariția evenimentului A. (adică)
Unirea evenimentelor A și B este evenimentul în care cel puțin unul dintre aceste evenimente are loc ca urmare a unei experiențe (adică).
Intersecția evenimentelor A și B este un eveniment astfel încât ambele evenimente apar ca rezultat al unei experiențe (adică).
Legea numerelor mari.

Să efectuăm testele de K ori și de N ori ca urmare a experimentului, are loc evenimentul A. Atunci numărul va fi numit frecvența de apariție a evenimentului A. Legea numerelor mari spune că dacă probabilitatea evenimentului A este
(și N și K ne sunt necunoscute), atunci putem alege întotdeauna N suficient de mare pentru a satisface următoarea relație:

unde (upsilon) este un număr pozitiv arbitrar mic, care nu este egal cu zero.
Asta înseamnă că cu suficient cantitati mari teste, frecvența de apariție a acestui sau aceluia eveniment va diferi cât mai puțin de zero.
Această relație face posibilă stabilirea experimentală cu o aproximare destul de bună a probabilității unui eveniment necunoscut nouă.
3. Probleme și exemple.
Primele calcule ale probabilităților de evenimente au început în secolul al XVII-lea odată cu calculul șanselor jucătorilor la jocurile de noroc. În primul rând, a fost un joc de zaruri.
Sarcina 1.
Au aruncat un zar. Care este probabilitatea ca numărul aruncat să fie 5?
Soluţie.
Există 6 tipuri de pierderi osoase în total (n = 6). Toate aceste opțiuni sunt la fel de probabile, deoarece matrița este făcută astfel încât toate părțile să aibă aceeași șansă de a fi deasupra, deci m = 1; Mijloace

Unde P(5) este probabilitatea de a obține un cinci.
Sarcina 2.
Care este probabilitatea ca atunci când aruncați un număr par de puncte?
Soluţie.
Există trei oportunități favorabile aici: 2; 4; 6. Prin urmare, m = 3, există 6 rezultate în total (n = 6), prin urmare

Unde P(par) este probabilitatea de a obține un număr par.
Sarcina 3.
Am aruncat 2 zaruri și am numărat punctele totale. Ce este mai probabil să obțineți un total de 7 sau 8?
Soluţie.
Iată numeroasele rezultate ale experimentului: „Totalul este de 2 puncte”, „Totalul este de 3 puncte”, ..., „Totalul este de 12 puncte”. Suntem interesați de evenimentele A = „se aruncă 7 puncte” și B = „se obțin 8 puncte”. Dar acestea nu sunt rezultate la fel de probabile ale experimentului, așa cum ar putea părea la început. Într-adevăr, există o singură modalitate de a obține 2 în total: 2 = 1+1 și 4 = 1 + 3 și 4 = 2 + 2, prin urmare, șansele de a obține un 4 sunt mai mari. Luați în considerare următorul set de evenimente: „un zar a primit k puncte, iar celălalt zar a primit p puncte”. . Dar și acestea nu sunt rezultate la fel de probabile. Pentru a obține rezultate la fel de probabile ale experimentului, pictăm zarurile în diferite culori (alb și negru). Ca rezultat, avem: „zarul alb a primit k puncte, cel negru a primit p.” Să notăm aceasta (k; p). Două astfel de evenimente sunt incompatibile între perechi. Numărul tuturor rezultatelor posibile este n = 62 = 36 (fiecare dintre cele 6 puncte de pe zarul alb poate fi combinat cu oricare dintre cele 6 puncte de pe zarul negru). Dintre aceste 36 de rezultate, evenimentul A va fi favorizat de următoarele rezultate: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), adică total 6 (m = 6). După formula avem:

Evenimentul B va fi favorizat de următoarele rezultate: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), adică numai 5. Conform formulei, avem:

Prin urmare, obținerea unui total de 7 puncte este un eveniment mai probabil decât obținerea a 8.
Această problemă a fost mai întâi rezolvată de jucătorii cu zaruri și abia apoi rezolvată matematic. Ea a devenit una dintre primele, în timpul discuției căreia Teoria a început să prindă contur.
Sarcina 4.
Cutia conține 20 de bile care se simt identice la atingere. Dintre acestea, 12 sunt albe și 8 sunt negre. O minge este extrasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie albă?
Soluţie.

Ca rezultat al experimentului, pot avea loc 2 evenimente: A = „Se extrage o bilă neagră” și B = „Se extrage o bilă albă”. Dar aceste 2 evenimente nu sunt la fel de probabile, pentru că Sunt mai multe bile albe. Pentru a obține un set de rezultate la fel de probabile, numerotăm bilele: de la 1 la 12 - albe și de la 13 la 20 - negre. Toate evenimentele Ek = „Mingea cu numărul k este extrasă” sunt la fel de probabile, deoarece Mingile nu se disting la atingere și sunt scoase pentru noroc. Mai mult, toate cele 20 de evenimente Ek sunt setul de rezultate ale experienței noastre, prin urmare, n = 20. Dintre acestea, 12 favorizează evenimentul B care ne interesează, prin urmare, m = 12. Prin urmare
Aceasta înseamnă că cu o probabilitate de 0,6 (60%) vom trage o minge albă.
În teorie există așa ceva ca independența evenimentelor. Fiecare dintre noi are o idee intuitivă despre independența evenimentelor. Deci, de exemplu, înțelegem că dacă aruncăm două monede, atunci ceea ce iese pe o monedă nu depinde de ceea ce iese pe cealaltă. Dar pentru că Teoria este o știință matematică, așa că este necesar să se dea o definiție precisă a independenței evenimentelor.
definiție: Două evenimente A și B sunt numite independente dacă egalitatea este valabilă:

Sarcina 6.
Doi vânători, independent unul de celălalt, împușcă simultan într-un iepure de câmp. Iepurele va fi ucis dacă ambii sunt loviți. Care sunt șansele de supraviețuire ale iepurelui dacă primul vânător lovește cu o probabilitate de 0,8, iar al doilea cu o probabilitate de 0,75?
Soluţie.
Să luăm în considerare două evenimente: A = „primul vânător a lovit iepurele” și B = „al doilea vânător a lovit iepurele”. Suntem interesați de eveniment (adică au avut loc atât evenimentul A, cât și evenimentul B). Datorită independenței evenimentelor, avem:

Aceasta înseamnă că în 6 din 10 cazuri iepurele va fi împușcat.
Sarcina 7.
Se știe că pentru fiecare 10 bilete există câte unul câștigător. Care este probabilitatea de a câștiga dacă există 50 de bilete?
Soluţie.
Folosind formula pe care o cunoaștem, este ușor de calculat că probabilitatea de a câștiga un bilet este 0,1; probabilitatea ca el să nu câștige este de 0,9. Câștigurile și pierderile biletelor sunt independente unele de altele. Probabilitatea ca primul bilet să nu câștige este de 0,9. Probabilitatea ca al doilea să nu câștige este de asemenea de 0,9. Apoi probabilitatea ca nici primul, nici al doilea să nu câștige, prin definiția evenimentelor independente

În mod similar, se arată că probabilitatea ca primele 3 bilete să nu câștige este de 0,93; și probabilitatea ca toate cele 50 de bilete să nu câștige = 0,950; acestea. aproximativ 0,005. În consecință, probabilitatea de a câștiga cel puțin un bilet este de 0,995 (99,5%).
Sarcina 7.
Un cavaler francez, de Mere, era un jucător pasionat de zaruri. A încercat în toate modurile posibile să se îmbogățească și a venit cu diverse reguli complicate pentru asta.
În special, a venit cu următoarele reguli: ei aruncă 4 zaruri și pariază că cel puțin unul dintre ei va primi un 6. El credea că în majoritatea cazurilor va câștiga. Pentru a confirma acest lucru, s-a adresat vechiului său prieten Blaise Pascal cu o solicitare pentru a calcula care este probabilitatea de a câștiga în acest joc.
Să prezentăm calculul lui Pascal.
Pentru fiecare aruncare individuală, probabilitatea evenimentului A = „se aruncă șase” = . Probabilitatea evenimentului B = „un șase nu este aruncat” = . Cuburile nu depind unul de celălalt, așadar, conform formulei

Probabilitatea de a nu arunca un șase de două ori la rând este

În același mod, se arată că atunci când este aruncat de trei ori, probabilitatea de a nu obține un 6 este

Și cu patru ori -

Și, prin urmare, probabilitatea de a câștiga. Aceasta înseamnă că în fiecare joc mai mult de jumătate din șansele erau ca De Mere să câștige; dacă jocul s-ar repeta de multe ori, cu siguranță ar câștiga.
Este rezonabil să ne punem întrebarea: care trebuie să fie probabilitatea unui eveniment pentru ca acesta să fie considerat de încredere? Se știe că aproximativ 5% din concertele programate sunt anulate, dar acest lucru nu ne împiedică să cumpărăm bilete. Dar dacă 5% din avioane s-ar prăbuși, atunci aproape nimeni nu ar folosi pe calea aerului.
Pentru a nu-ți risca viața în condiții de pace, probabilitatea unui rezultat nefavorabil ar trebui aparent să nu fie mai mare de 0,0001. Oameni diferiți Ei au atitudini diferite față de risc, dar este evident că chiar și cei mai precauți își vor asuma cu ușurință riscuri dacă probabilitatea unui rezultat nefavorabil este de 10-5. De exemplu, probabilitatea de a fi lovit de o mașină în interior oraș mare 10-7. Deci putem presupune că un eveniment cu o probabilitate de rezultat nefavorabil de 10-7 poate fi considerat de încredere, dar accidentele de circulație au loc în fiecare zi.
De asemenea, puteți determina probabilitatea unui eveniment imposibil, de exemplu, „miracolul Borel” (Emile Borel - matematician, autor al multor lucrări despre teorie) - că o maimuță, lovind la întâmplare tastatura cu degetele, va tasta unele finalizate. lucrați, de exemplu, „Vai de înțelepciunea” Griboyedov. Acesta nu este un eveniment imposibil, deși probabilitatea este foarte mică, aproximativ 10-2600. Cu aceeași probabilitate, un ibric poate îngheța la foc (termodinamica, apropo, nu neagă posibilitatea unui astfel de fenomen).
Dar totuși, majoritatea oamenilor de știință estimează că probabilitatea unui eveniment imposibil este de 10-16.
4. Metoda Monte Carlo.
definiție. Metoda Monte Carlo este o metodă numerică de rezolvare probleme matematice folosind modelarea variabilelor aleatoare.
Data nașterii metodei este considerată a fi 1949, când a fost publicat articolul „Metoda Monte Carlo”. Creatorii metodei sunt matematicienii americani J. Neumann și S. Ulam.
Baza teoretica metoda este cunoscută de multă vreme, dar abia odată cu apariția computerelor și-a găsit aplicație largă, deoarece Modelarea manuală a variabilelor aleatoare este o sarcină care necesită multă muncă.
Numele metodei în sine, „Monte Carlo”, provine de la numele orașului din Principatul Monaco, renumit pentru casele de jocuri de noroc. Cert este că cel mai simplu dispozitiv pentru simularea variabilelor aleatoare este... o ruletă. Cea mai frecventă întrebare, desigur, este: „Te ajută metoda să câștigi la ruletă?” Nu, din păcate, nu ajută.
Acum să trecem direct la matematică. Pentru a clarifica la ce ne referim despre care vorbim, dăm cel mai simplu exemplu de utilizare a metodei.
Exemplul 1.
Să presupunem că trebuie să calculăm aria figurii prezentate în figură. Să presupunem că este situat în interiorul unui pătrat unitar.
Să selectăm N puncte aleatoare în interiorul pătratului unității. Să notăm cu N' numărul de puncte care se încadrează în această figură. Atunci aria acestei figuri va fi aproximativ egală.
Există doar 30 de puncte în figură. 12 dintre ele au lovit cifra, în timp ce aria adevărată a cifrei este 0,48.
Caracteristicile metodei.
Prima caracteristică este simplitatea algoritmului de calcul. De regulă, se elaborează un program pentru a efectua un test aleatoriu și pentru a-l repeta de N ori. Prin urmare, Metoda este adesea numită metoda de testare statistică
A doua caracteristică este că eroarea este, de regulă, proporțională, unde D = const, N este numărul de teste.
Se pot rezolva diverse probleme opțiuni diferite Există o mulțime de metode, de altfel. Pentru fiecare opțiune - propria sa valoare a lui D și, în consecință, propria sa valoare de eroare.
Folosind Metoda, puteți simula orice proces a cărui apariție este asociată cu variabile aleatorii. De asemenea, puteți veni în mod artificial cu un model probabilistic pentru probleme care nu sunt legate de aleatorie.
Pentru a obține numere aleatorii, există tabele speciale care sunt deosebit de convenabile de utilizat pe computere: de fiecare dată pur și simplu luăm următorul număr și îl folosim ca unul aleatoriu. Dar crearea unui astfel de tabel nu este atât de ușoară pe cât ar părea. Exista teste speciale pentru a verifica corectitudinea secvenței aleatorii.
Semnificația practică a Metodei este foarte mare. Cu ajutorul acestuia, de exemplu, puteți calcula fiabilitatea oricărui produs sau puteți calcula traiectoria neutronilor care trec printr-o placă sau poziția unui electron la un moment dat etc.
5. Câteva cuvinte despre istoria dezvoltării Teoriei.
În secolul al XVII-lea, matematicieni remarcabili precum Pascal, Fermat și Huygens au studiat teoria. Mai mult, primele contribuții la Teorie au fost făcute în legătură cu studiul jocurilor de noroc.
Cu toate acestea, deja în sfârşitul XVII-lea V. a început să folosească Teoria la asigurarea navelor, adică. au început să calculeze câte șanse erau ca nava să se întoarcă nevătămată în port, să nu fie scufundată de o furtună, să nu se ude încărcătura, să nu fie capturată de pirați etc. Acest calcul a făcut posibilă determinarea sumei de asigurare care trebuie plătită și ce primă de asigurare să fie luată pentru ca aceasta să fie profitabilă pentru companie.
În prima jumătate a secolului al XVIII-lea. Jacob Bernoulli, membru al Academiei Ruse de Științe, a făcut multe pentru teorie. Trebuie remarcate lucrările lui S. Laplace, S. Poisson și C. Gauss.
Cu toate acestea, în a doua jumătate a secolului al XVIII-lea. Teoria, într-un anumit sens, „marca timpul”. La acea vreme, legătura dintre diversele fenomene din viață și știința fenomenelor de masă nu era încă clară. La mijlocul secolului al XIX-lea. O schimbare majoră în dezvoltarea teoriei a fost făcută de matematicianul rus P. Cebyshev. Markov, Lyapunov, Bernstein, Kolmogorov au avut o mare contribuție.

Teoria a jucat un rol practic important în cel de-al doilea război mondial. Să dăm un exemplu din domeniul militar. Este clar că este foarte greu să doborâți un avion cu o singură lovitură de pușcă. La urma urmei, trăgătorul nu trebuie doar să lovească avionul, ci și să lovească cel mai vulnerabil punct, cum ar fi rezervorul de combustibil. Prin urmare, probabilitatea ca un trăgător să doboare un avion cu o pușcă este neglijabilă. Bombarcarea în masă este o chestiune complet diferită. Presupunând că probabilitatea de a doborî un avion cu o pușcă este de 0,004; în consecință, probabilitatea unei rateuri este de 0,996. Acum să presupunem că sunt 500 de trăgători care trag; după cum am demonstrat mai sus, probabilitatea unei rateuri este
Astfel, probabilitatea de a doborî un avion într-o salvă este de 0,86. Și dacă este posibil să trageți 2-3 salve, atunci șansele de supraviețuire ale aeronavei sunt aproape de zero.
Teoria a făcut posibilă, de asemenea, să se determine zone în care avea sens să se caute avioane și submarine sau să se indice rute pentru a evita întâlnirea cu acestea. O problemă tipică aici este cum să conduci mai profitabil caravanele de nave comerciale peste un ocean în care operează submarinele inamice. Daca organizezi rulote din un numar mare nave, atunci se va putea descurca cu mai puține raiduri, dar posibilele pierderi la întâlnirea cu flota inamică vor fi mai mari. Teoria a ajutat la calcularea dimensiunilor optime ale rulotelor și a frecvenței de plecare a acestora. Au apărut multe probleme de acest gen, așa că la sediu s-au organizat grupuri speciale pentru calcularea probabilităților. După război, calcule similare au început să fie aplicate problemelor economice în timp de pace. Ele au constituit conținutul unui nou domeniu extins numit cercetare operațională, care se formalizează într-o întreagă știință.
Bibliografie
I. Zaidel. „Erori de măsurare a mărimilor fizice”
O. S. Ivaşev-Musatov. „Teoria probabilității și statistica matematică”
E. Borel. „Probabilitate și fiabilitate”
I. M. Sobol. „Metoda Monte Carlo”

Teoria probabilității este știința fenomenelor (evenimentelor) aleatorii. Ce fenomene pot fi numite aleatorii? Răspunsul care poate fi dat imediat este că acestea sunt evenimente care sfidează explicația. Și dacă le explici, evenimentele vor înceta să fie aleatorii? Să dăm câteva exemple.

Exemplul 1. Sasha Ivanov este un student mediu și de obicei dă corect doar jumătate din răspunsuri lucrări de examen. La următorul examen, Sasha a răspuns la bilet și a primit notă pozitivă. Ce evenimente pot fi considerate aleatorii:

a) Sasha a primit un bilet „bun” - eveniment A;

b) Sasha a răspuns la bilet - eveniment ÎN;

c) Sasha a promovat examenul - eveniment CU.

Eveniment A- aleatoriu, deoarece Sasha ar fi putut lua un bilet „rău”, dar de ce a luat unul „bun” este greu de explicat. Eveniment ÎN- nu întâmplător, deoarece Sasha poate răspunde doar la un bilet „bun”. Eveniment CU– aleatoriu, deoarece constă din mai multe evenimente și cel puțin unul dintre ele este aleatoriu (eveniment A).

Exemplul 2. Sasha și Masha cântă pentru un bilet la concert. Care dintre următoarele evenimente pot fi considerate aleatorii?

a) Doar Sasha a câștigat un bilet - eveniment A;

b) Doar Masha a câștigat un bilet - eveniment ÎN;

c) Sasha sau Masha au câștigat un bilet - eveniment CU;

d) Ambii au câștigat un bilet - eveniment D.

Evenimente AȘi ÎN- Aleatoriu; eveniment CU- nu întâmplător, deoarece se va întâmpla cu siguranță. Eveniment D- nu întâmplător, deoarece nu se poate întâmpla niciodată în condițiile date.

Cu toate acestea, toate aceste evenimente au sens și sunt studiate în teoria probabilității (și evenimentul CU numit de încredere, și evenimentul D – imposibil).

Exemplul 3. Să luăm în considerare munca cantinei în ceea ce privește serviciul pentru clienți. Momentele sosirii vizitatorilor (eveniment A) este imposibil de prezis în avans; în plus, timpul petrecut de clienți pentru prânz (eveniment ÎN), pentru diferiți clienți - diferiti. Prin urmare, evenimentele AȘi ÎN poate fi considerat aleatoriu, iar procesul de servicii pentru clienți poate fi considerat un proces aleatoriu (sau un fenomen aleatoriu).

Exemplul 4. Botanistul englez Brown studiind polenul la microscop plante conifereîn apă, a descoperit că particulele în suspensie se mișcă aleatoriu sub influența șocurilor de la moleculele mediului.

A. Einstein (1905-1906) a numit această mișcare aleatorie a particulelor brownian (în numele lui Brown), iar mai târziu N. Wiener a creat teoria proceselor Wiener (1920-1930), care sunt un analog continuu al mișcării browniene. S-a dovedit că o particulă de dimensiunea unui micron (10 -4 cm) suferă mai mult de 10 15 impacturi de la molecule pe secundă. Pentru a determina traiectoria unei particule, trebuie să măsurați parametrii a 10-15 impacturi într-o secundă. Este practic imposibil. Astfel, avem dreptul să luăm în considerare mișcarea browniană Aleatoriu. Făcând acest lucru, Einstein a deschis noi posibilități pentru studierea mișcării browniene și, în același timp, a secretelor microlumii.

Aici, aleatorietatea se manifestă ca ignoranță sau incapacitatea de a obține informații fiabile despre mișcarea particulelor.

Din exemple rezultă că evenimentele aleatoare nu există în singular, fiecare dintre ele trebuie să aibă cel puțin un eveniment alternativ.

Astfel, sub Aleatoriu vom înțelege observabilele evenimente, fiecare dintre ele are posibilitatea de a fi realizat într-o observație dată, dar numai unul dintre ele este realizat.

În plus, presupunem că orice eveniment aleatoriu „este realizat de un număr infinit de ori într-un timp infinit”.

Această condiție, deși figurativă, reflectă destul de exact esența conceptului de eveniment aleatoriu din teoria probabilității.

De fapt, atunci când studiem un eveniment aleatoriu, este important pentru noi să cunoaștem nu numai faptul apariției lui, ci și cât de des apare un eveniment aleatoriu în comparație cu altele, adică să cunoaștem probabilitatea acestuia. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți un set suficient de date statistice, dar acesta este deja subiectul statisticilor matematice.

Deci, se poate susține că nu există un singur fenomen fizic în natură care să nu conțină un element de aleatoriu, ceea ce înseamnă că prin studierea aleatoriei, învățăm tiparele lumii din jurul nostru. Teoria modernă probabilitatea este rar folosită pentru a studia un singur fenomen format dintr-un număr mic de factori. Sarcina sa principală este identificarea modeleîn fenomene aleatorii de masă şi studiul lor.

Metoda probabilistă (statistică) studiază fenomenele dintr-o perspectivă generală,

ajută specialiștii să-și înțeleagă esența fără a se opri asupra detaliilor neimportante. Acesta este un mare avantaj în comparație cu metodele exacte ale altor științe. Nu trebuie să credem că teoria probabilității se opune altor științe; dimpotrivă, le completează și le dezvoltă.

De exemplu, prin introducerea unei componente aleatorii într-un model determinist, se obțin adesea rezultate mai precise și mai aprofundate ale procesului fizic studiat. Abordarea probabilistică se dovedește a fi eficientă și pentru fenomenele care sunt declarate aleatorii, indiferent dacă sunt așa sau nu.

În teoria probabilității, această abordare se numește randomizare(aleatoriu - aleatoriu).

Rezumat al unui elev de clasa a 9-a „A” a școlii secundare nr. 1054 Valishev Timur

1. Introducere.

La prima vedere, poate părea că există și nu pot exista legi care guvernează fenomenele întâmplătoare. Cu toate acestea, dacă te uiți la el, fenomenele întâmplătoare nu apar atât de haotic. În multe cazuri, apar tipare. Aceste tipare nu sunt ca legile obișnuite ale fenomenelor fizice; sunt foarte diverse.

Luați jocul cu monede de exemplu. La aruncare, pot exista două rezultate la fel de probabile: moneda poate ateriza capul sau coada. Când arunci o monedă o dată, nu poți prezice care parte va ajunge în partea de sus. Cu toate acestea, după ce ați aruncat o monedă de 100 de ori, puteți trage concluzii. Puteți spune dinainte că stema va apărea nu de 1 sau 2 ori, ci de mai multe, dar nu de 99 sau 98 de ori, ci mai puțin. Numărul de picături ale stemei va fi aproape de 50. De fapt, și din experiență se poate convinge de asta că acest număr va fi între 40 și 60.

De asemenea, se stabilește statistic că la 1000 de copii sunt 511 băieți și 489 fete (adică 48,9%, respectiv 51,1%). Această consistență uimitoare a fost remarcată de mulți oameni de știință, inclusiv de Simon Laplace, unul dintre fondatorii Teoriei. Aceste informații ne permit să anticipăm cu mare acuratețe probabilitatea numărului de băieți sau fete într-un anumit an (aceste calcule, de exemplu, sunt folosite de consiliul de proiect).

2. Definiții și concepte de bază ale Teoriei.

Acum să trecem la expresia algebrică a Teoriei. Iată definiția clasică:

definiție: Fie setul de rezultate ale unui experiment format din n rezultate la fel de probabile. Dacă m dintre ei favorizează evenimentul A, atunci probabilitatea evenimentului A este numărul

Dând această definiție, ne așteptăm ca (datorită echiprobabilității rezultatelor experimentului) cu o repetare de n ori a experimentului, evenimentul A să aibă loc în

cazuri (aici se află valoarea practică a Teoriei).

Este necesar să explicăm câteva concepte ale Teoriei care vor fi necesare mai târziu:

Un anumit eveniment este un eveniment care trebuie neapărat să aibă loc ca urmare a experienței. Un astfel de eveniment este desemnat de litera E (așteptată)

Un eveniment imposibil este un eveniment care nu poate avea loc ca urmare a experienței. Un astfel de eveniment este desemnat de litera U (Ireal)

Evenimentele incompatibile sunt evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a experienței.

Evenimentele comune sunt evenimente care pot avea loc simultan ca urmare a unei experiențe.

Evenimentul A favorizează evenimentul B dacă evenimentul B decurge din faptul că evenimentul A are loc (adică.

)

Unirea evenimentelor A și B este un eveniment care constă în faptul că cel puțin unul dintre aceste evenimente a avut loc în urma unui experiment (adică.

Intersecția evenimentelor A și B este un eveniment astfel încât ambele evenimente să apară ca rezultat al unui experiment (de ex.

Legea numerelor mari.

Să efectuăm testele de K ori și de N ori ca rezultat al experimentului, are loc evenimentul A. Apoi numărul

se va numi frecvența de apariție a evenimentului A. Legea numerelor mari spune că dacă probabilitatea evenimentului A este egală

(și N și K ne sunt necunoscute), atunci putem alege întotdeauna N suficient de mare pentru a satisface următoarea relație:

(upsilon) - un număr pozitiv arbitrar mic, care nu este egal cu zero.

Aceasta înseamnă că, cu un număr suficient de mare de teste, frecvența de apariție a unui anumit eveniment va diferi cât se dorește de zero.

Această relație face posibilă stabilirea experimentală cu o aproximare destul de bună a probabilității unui eveniment necunoscut nouă.

3. Probleme și exemple.

Primele calcule ale probabilităților de evenimente au început în secolul al XVII-lea odată cu calculul șanselor jucătorilor la jocurile de noroc. În primul rând, a fost un joc de zaruri.

Au aruncat un zar. Care este probabilitatea ca numărul aruncat să fie 5?

Există 6 tipuri de pierderi osoase în total (n = 6). Toate aceste opțiuni sunt la fel de probabile, deoarece matrița este făcută astfel încât toate părțile să aibă aceeași șansă de a fi deasupra, deci m = 1; Mijloace

Unde P(5) este probabilitatea de a obține un cinci.

Care este probabilitatea ca atunci când aruncați un număr par de puncte?

Există trei oportunități favorabile aici: 2; 4; 6. Prin urmare, m = 3, există 6 rezultate în total (n = 6), prin urmare

Unde P(par) este probabilitatea de a obține un număr par.

Am aruncat 2 zaruri și am numărat punctele totale. Ce este mai probabil să obțineți un total de 7 sau 8?

. Dar și acestea nu sunt rezultate la fel de probabile. Pentru a obține rezultate la fel de probabile ale experimentului, pictăm zarurile în diferite culori (alb și negru). Ca rezultat, avem: „zarul alb a primit k puncte, cel negru a primit p.” Să notăm aceasta (k; p). Două astfel de evenimente sunt incompatibile între perechi. Numărul tuturor rezultatelor posibile este n = 62 = 36 (fiecare dintre cele 6 puncte de pe zarul alb poate fi combinat cu oricare dintre cele 6 puncte de pe zarul negru). Dintre aceste 36 de rezultate, evenimentul A va fi favorizat de următoarele rezultate: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), adică total 6 (m = 6). După formula avem:

Evenimentul B va fi favorizat de următoarele rezultate: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), adică numai 5. Conform formulei, avem:

Prin urmare, obținerea unui total de 7 puncte este un eveniment mai probabil decât obținerea a 8.

Această problemă a fost mai întâi rezolvată de jucătorii cu zaruri și abia apoi rezolvată matematic. Ea a devenit una dintre primele, în timpul discuției căreia Teoria a început să prindă contur.

Cutia conține 20 de bile care se simt identice la atingere. Dintre acestea, 12 sunt albe și 8 sunt negre. O minge este extrasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie albă?

Aceasta înseamnă că cu o probabilitate de 0,6 (60%) vom trage o minge albă.

În teorie există așa ceva ca independența evenimentelor. Fiecare dintre noi are o idee intuitivă despre independența evenimentelor. Deci, de exemplu, înțelegem că dacă aruncăm două monede, atunci ceea ce iese pe o monedă nu depinde de ceea ce iese pe cealaltă. Dar pentru că Teoria este o știință matematică, așa că este necesar să se dea o definiție exactă a independenței evenimentelor.

definiție: Două evenimente A și B sunt numite independente dacă egalitatea este valabilă:

Doi vânători, independent unul de celălalt, împușcă simultan într-un iepure de câmp. Iepurele va fi ucis dacă ambii sunt loviți. Care sunt șansele de supraviețuire ale iepurelui dacă primul vânător lovește cu o probabilitate de 0,8, iar al doilea cu o probabilitate de 0,75?

Să luăm în considerare două evenimente: A = „primul vânător a lovit iepurele” și B = „al doilea vânător a lovit iepurele”. Suntem interesați de eveniment

(adică au avut loc atât evenimentul A, cât și evenimentul B). Datorită independenței evenimentelor, avem:

Aceasta înseamnă că în 6 din 10 cazuri iepurele va fi împușcat.

Se știe că pentru fiecare 10 bilete există câte unul câștigător. Care este probabilitatea de a câștiga dacă există 50 de bilete?

Folosind formula pe care o cunoaștem, este ușor de calculat că probabilitatea de a câștiga un bilet este 0,1; probabilitatea ca el să nu câștige este de 0,9. Câștigurile și pierderile biletelor sunt independente unele de altele. Probabilitatea ca primul bilet să nu câștige este de 0,9. Probabilitatea ca al doilea să nu câștige este de asemenea de 0,9. Apoi probabilitatea ca nici primul, nici al doilea să nu câștige, prin definiția evenimentelor independente

Rezumat al unui elev de clasa a 9-a „A” a școlii secundare nr. 1054 Valishev Timur

1. Introducere.

2. Definiții și concepte de bază ale Teoriei.

Acum să trecem la expresia algebrică a Teoriei. Iată definiția clasică:

definiție: Fie setul de rezultate ale unui experiment format din n rezultate la fel de probabile. Dacă m dintre ei favorizează evenimentul A, atunci probabilitatea evenimentului A este numărul

Este necesar să explicăm câteva concepte ale Teoriei care vor fi necesare mai târziu:

Un anumit eveniment este un eveniment care trebuie neapărat să aibă loc ca urmare a experienței. Un astfel de eveniment este desemnat de litera E (așteptată)

Un eveniment imposibil este un eveniment care nu poate avea loc ca urmare a experienței. Un astfel de eveniment este desemnat de litera U (Ireal)

Evenimentele incompatibile sunt evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a experienței.

Evenimentele comune sunt evenimente care pot avea loc simultan ca urmare a unei experiențe.

Evenimentul A favorizează evenimentul B dacă evenimentul B decurge din apariția evenimentului A. (adică)

Unirea evenimentelor A și B este evenimentul în care cel puțin unul dintre aceste evenimente are loc ca urmare a unei experiențe (adică).

Intersecția evenimentelor A și B este un eveniment astfel încât ambele evenimente apar ca rezultat al unei experiențe (adică).

Legea numerelor mari.

(și N și K ne sunt necunoscute), atunci putem alege întotdeauna N suficient de mare pentru a satisface următoarea relație:

unde (upsilon) este un număr pozitiv arbitrar mic, care nu este egal cu zero.

Aceasta înseamnă că, cu un număr suficient de mare de teste, frecvența de apariție a unui anumit eveniment va diferi cât se dorește de zero.

Această relație face posibilă stabilirea experimentală cu o aproximare destul de bună a probabilității unui eveniment necunoscut nouă.

3. Probleme și exemple.

Primele calcule ale probabilităților de evenimente au început în secolul al XVII-lea odată cu calculul șanselor jucătorilor la jocurile de noroc. În primul rând, a fost un joc de zaruri.

Au aruncat un zar. Care este probabilitatea ca numărul aruncat să fie 5?

Unde P(5) este probabilitatea de a obține un cinci.

Care este probabilitatea ca atunci când aruncați un număr par de puncte?

Există trei oportunități favorabile aici: 2; 4; 6. Prin urmare, m = 3, există 6 rezultate în total (n = 6), prin urmare

Unde P(par) este probabilitatea de a obține un număr par.

Am aruncat 2 zaruri și am numărat punctele totale. Ce este mai probabil să obțineți un total de 7 sau 8?

Iată numeroasele rezultate ale experimentului: „Totalul este de 2 puncte”, „Totalul este de 3 puncte”, ..., „Totalul este de 12 puncte”. Suntem interesați de evenimentele A = „se aruncă 7 puncte” și B = „se obțin 8 puncte”. Dar acestea nu sunt rezultate la fel de probabile ale experimentului, așa cum ar putea părea la început. Într-adevăr, există o singură modalitate de a obține 2 în total: 2 = 1+1 și 4 = 1 + 3 și 4 = 2 + 2, prin urmare, șansele de a obține un 4 sunt mai mari. Luați în considerare următorul set de evenimente: „un zar a primit k puncte, iar celălalt zar a primit p puncte”. . Dar și acestea nu sunt rezultate la fel de probabile. Pentru a obține rezultate la fel de probabile ale experimentului, pictăm zarurile în diferite culori (alb și negru). Ca rezultat, avem: „zarul alb a primit k puncte, cel negru a primit p.” Să notăm aceasta (k; p). Două astfel de evenimente sunt incompatibile între perechi. Numărul tuturor rezultatelor posibile este n = 62 = 36 (fiecare dintre cele 6 puncte de pe zarul alb poate fi combinat cu oricare dintre cele 6 puncte de pe zarul negru). Dintre aceste 36 de rezultate, evenimentul A va fi favorizat de următoarele rezultate: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), adică total 6 (m = 6). După formula avem:

Evenimentul B va fi favorizat de următoarele rezultate: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), adică numai 5. Conform formulei, avem:

Prin urmare, obținerea unui total de 7 puncte este un eveniment mai probabil decât obținerea a 8.

Aceasta înseamnă că cu o probabilitate de 0,6 (60%) vom trage o minge albă.

definiție: Două evenimente A și B sunt numite independente dacă egalitatea este valabilă:

Să luăm în considerare două evenimente: A = „primul vânător a lovit iepurele” și B = „al doilea vânător a lovit iepurele”. Suntem interesați de eveniment (adică au avut loc atât evenimentul A, cât și evenimentul B). Datorită independenței evenimentelor, avem:

Aceasta înseamnă că în 6 din 10 cazuri iepurele va fi împușcat.

Se știe că pentru fiecare 10 bilete există câte unul câștigător. Care este probabilitatea de a câștiga dacă există 50 de bilete?

Un cavaler francez, de Mere, era un jucător pasionat de zaruri. A încercat în toate modurile posibile să se îmbogățească și a venit cu diverse reguli complicate pentru asta.

În special, a venit cu următoarele reguli: ei aruncă 4 zaruri și pariază că cel puțin unul dintre ei va primi un 6. El credea că în majoritatea cazurilor va câștiga. Pentru a confirma acest lucru, a apelat la vechea lui cunoștință, Blaise Pascal, cu o solicitare de a calcula care era probabilitatea de a câștiga în acest joc.

Să prezentăm calculul lui Pascal.

Pentru fiecare aruncare individuală, probabilitatea evenimentului A = „se aruncă șase” = . Probabilitatea evenimentului B = „un șase nu este aruncat” = . Cuburile nu depind unul de celălalt, așadar, conform formulei

Probabilitatea de a nu arunca un șase de două ori la rând este

În același mod, se arată că atunci când este aruncat de trei ori, probabilitatea de a nu obține un 6 este

Și cu patru ori -

Este rezonabil să ne punem întrebarea: care trebuie să fie probabilitatea unui eveniment pentru ca acesta să fie considerat de încredere? Se știe că aproximativ 5% din concertele programate sunt anulate, dar acest lucru nu ne împiedică să cumpărăm bilete. Dar dacă 5% dintre avioane s-ar prăbuși, atunci aproape nimeni nu ar folosi transportul aerian.

Pentru a nu-ți risca viața în condiții de pace, probabilitatea unui rezultat nefavorabil ar trebui aparent să nu fie mai mare de 0,0001. Diferiți oameni au atitudini diferite față de risc, dar este clar că și cei mai precauți își vor asuma cu ușurință riscuri dacă probabilitatea unui rezultat nefavorabil este de 10-5. De exemplu, probabilitatea de a fi lovit de o mașină într-un oraș mare este de 10-7. Deci putem presupune că un eveniment cu o probabilitate de rezultat nefavorabil de 10-7 poate fi considerat de încredere, dar accidentele de circulație au loc în fiecare zi.

De asemenea, puteți determina probabilitatea unui eveniment imposibil, de exemplu, „miracolul Borel” (Emile Borel este un matematician, autor al multor lucrări despre teorie) - că o maimuță, lovind la întâmplare tastatura cu degetele, va tasta câteva lucrare finalizată, de exemplu, „Vai de inteligență” » Griboyedov. Acesta nu este un eveniment imposibil, deși probabilitatea este foarte mică, aproximativ 10-2600. Cu aceeași probabilitate, un ibric poate îngheța la foc (termodinamica, apropo, nu neagă posibilitatea unui astfel de fenomen).

Dar totuși, majoritatea oamenilor de știință estimează că probabilitatea unui eveniment imposibil este de 10-16.

4. Metoda Monte Carlo.

definiție. Metoda Monte Carlo este o metodă numerică de rezolvare a problemelor matematice prin modelarea variabilelor aleatoare.

Baza teoretică a metodei este cunoscută de mult timp, dar abia odată cu apariția computerelor și-a găsit o aplicație largă, deoarece Modelarea manuală a variabilelor aleatoare este o sarcină care necesită multă muncă.

Numele metodei în sine, „Monte Carlo”, provine de la numele orașului din Principatul Monaco, renumit pentru casele de jocuri de noroc. Cert este că cel mai simplu dispozitiv pentru simularea variabilelor aleatoare este... o ruletă. Cea mai frecventă întrebare, desigur, este: „Te ajută metoda să câștigi la ruletă?” Nu, din păcate, nu ajută.

Acum să trecem direct la matematică. Pentru a clarifica despre ce vorbim, vom da un exemplu simplu de utilizare a metodei.

Să presupunem că trebuie să calculăm aria figurii prezentate în figură. Să presupunem că este situat în interiorul unui pătrat unitar.

Să selectăm N puncte aleatoare în interiorul pătratului unității. Să notăm cu N' numărul de puncte care se încadrează în această figură. Atunci aria acestei figuri va fi aproximativ egală.

Există doar 30 de puncte în figură. 12 dintre ele au lovit cifra, în timp ce aria adevărată a cifrei este 0,48.

Caracteristicile metodei.

Prima caracteristică este simplitatea algoritmului de calcul. De regulă, se elaborează un program pentru a efectua un test aleatoriu și pentru a-l repeta de N ori. Prin urmare, Metoda este adesea numită metoda de testare statistică

A doua caracteristică este că eroarea este, de regulă, proporțională, unde D = const, N este numărul de teste.

Diferite probleme pot fi rezolvate folosind diferite versiuni ale Metodei, dintre care, apropo, există o mulțime. Fiecare opțiune are propria sa valoare D și, în consecință, propria sa valoare de eroare.

Folosind Metoda, puteți simula orice proces a cărui apariție este asociată cu variabile aleatorii. De asemenea, puteți veni în mod artificial cu un model probabilistic pentru probleme care nu sunt legate de aleatorie.

Pentru a obține numere aleatorii, există tabele speciale care sunt deosebit de convenabile de utilizat pe computere: de fiecare dată pur și simplu luăm următorul număr și îl folosim ca unul aleatoriu. Dar crearea unui astfel de tabel nu este atât de ușoară pe cât ar părea. Există teste speciale pentru a verifica corectitudinea secvenței aleatorii.

Semnificația practică a Metodei este foarte mare. Cu ajutorul acestuia, de exemplu, puteți calcula fiabilitatea oricărui produs sau puteți calcula traiectoria neutronilor care trec printr-o placă sau poziția unui electron la un moment dat etc.

5. Câteva cuvinte despre istoria dezvoltării Teoriei.

În secolul al XVII-lea, matematicieni remarcabili precum Pascal, Fermat și Huygens au studiat teoria. Mai mult, primele contribuții la Teorie au fost făcute în legătură cu studiul jocurilor de noroc.

Cu toate acestea, deja la sfârșitul secolului al XVII-lea. a început să folosească Teoria la asigurarea navelor, adică. au început să calculeze câte șanse erau ca nava să se întoarcă nevătămată în port, să nu fie scufundată de o furtună, să nu se ude încărcătura, să nu fie capturată de pirați etc. Acest calcul a făcut posibilă determinarea sumei de asigurare care trebuie plătită și ce primă de asigurare să fie luată pentru ca aceasta să fie profitabilă pentru companie.

În prima jumătate a secolului al XVIII-lea. Jacob Bernoulli, membru al Academiei Ruse de Științe, a făcut multe pentru teorie. Trebuie remarcate lucrările lui S. Laplace, S. Poisson și C. Gauss.

Cu toate acestea, în a doua jumătate a secolului al XVIII-lea. Teoria, într-un anumit sens, „marca timpul”. La acea vreme, legătura dintre diversele fenomene din viață și știința fenomenelor de masă nu era încă clară. La mijlocul secolului al XIX-lea. O schimbare majoră în dezvoltarea teoriei a fost făcută de matematicianul rus P. Cebyshev. Markov, Lyapunov, Bernstein, Kolmogorov au avut o mare contribuție.

Astfel, probabilitatea de a doborî un avion într-o salvă este de 0,86. Și dacă este posibil să tragi 2-3 salve, atunci șansele de supraviețuire ale aeronavei sunt aproape de zero.

Teoria a făcut posibilă, de asemenea, să se determine zone în care avea sens să se caute avioane și submarine sau să se indice rute pentru a evita întâlnirea cu acestea. O problemă tipică aici este cum să conduci mai profitabil caravanele de nave comerciale peste un ocean în care operează submarinele inamice. Dacă organizați rulote cu un număr mare de nave, atunci vă puteți descurca cu mai puține raiduri, dar posibilele pierderi la întâlnirea cu o flotă inamică vor fi mai mari. Teoria a ajutat la calcularea dimensiunilor optime ale rulotelor și a frecvenței de plecare a acestora. Au apărut multe probleme de acest gen, așa că la sediu s-au organizat grupuri speciale pentru calcularea probabilităților. După război, calcule similare au început să fie aplicate problemelor economice în timp de pace. Ele au constituit conținutul unui nou domeniu extins numit cercetare operațională, care se formalizează într-o întreagă știință.

Bibliografie

I. Zaidel. „Erori de măsurare a mărimilor fizice”

O. S. Ivaşev-Musatov. „Teoria probabilității și statistica matematică”

E. Borel. „Probabilitate și fiabilitate”

I. M. Sobol. „Metoda Monte Ka”

Alte materiale

Cursul, care este prezentat în primele patru module. A doua întrebare a testului biletului de cunoaștere a problemei limitei clasice a teoriei probabilităților și statisticii matematice, care sunt prezentate în următoarele cinci module. 1. Un model probabilistic cu nu mai mult de un număr numărabil de...

Dezvoltarea unui program de curs opțional de teoria probabilităților la cursul de matematică de clasa a VIII-a

Evenimente; formule: probabilitate totală, Bayes (Bayes). Una dintre formele de pregătire diferențiată în cadrul cursului de teoria probabilităților poate fi un curs opțional. 2. Elaborarea unui program de curs opțional de teoria probabilităților la cursul de matematică clasa a VIII-a 2.1 Concepte de bază despre...

Al doilea derivat mixt. Să găsim din densitatea bidimensională densitățile unidimensionale ale variabilelor aleatoare X și Y. Deoarece egalitatea rezultata este adevarata pentru tot x, atunci expresia integrand este similara.In teoria matematica a probabilitatii se introduce ca formula de baza (1) deoarece se propune ca densitatea...

Explicat în mare măsură prin teoreme limită. Un proiect de test cu un număr finit de rezultate este insuficient chiar și pentru cele mai simple aplicații ale teoriei probabilităților. Astfel, atunci când se studiază împrăștierea aleatorie a punctelor de impact ale proiectilelor în jurul centrului țintei, când se studiază erorile aleatorii care apar atunci când...

Chiar și modele. Cu toate acestea, este puțin probabil ca explicația să se reducă la stabilirea unei conexiuni logică „între reprezentarea obiectului explicat în limbaj și legea științei”. Esența fenomenelor, mai ales a celor complexe, poate fi adesea dezvăluită doar cu ajutorul unei teorii care nu este o simplă mulțime și chiar...

Pentru unii dintre ei, putem decide imediat care dintre ele este mai mult și care este mai puțin posibil. De exemplu, evenimentul A este mai posibil (probabil) decât B, iar evenimentul F este mai posibil decât E. Orice eveniment aleatoriu are un anumit grad de posibilitate, care, în principiu, poate fi măsurat numeric. Pentru a compara...

O teorie destul de generală a managementului (Doctrinele rasiale în Rusia: capabilitățile lor și oportunitatea de a le urma într-o perspectivă istorică)

Ateismul cu logică este suficient teorie generală controalele din această prezentare sunt incompatibile. Variațiile atee asupra temelor teoriei managementului fie îl pun pe om (umanitatea ca întreg) în locul lui Dumnezeu, fie pierd generalitatea prezentării de îndată ce intră în contact cu tema procesului istoric global...

Creaționismul științific (Teoria creației). Versiune actualizată și îmbunătățită

Cea mai mică celulă vie capabilă să-și creeze propriul fel), iar ceea ce prezintă ei nu este altceva decât teorii (ipoteze). Ei bine, munca lor aduce beneficii teoriei creaționismului științific! Și acum voi oferi informații despre alte contradicții din biologie (și din alte științe) cu care se confruntă...

La urma urmei, este clar că implementarea sa va necesita o anumită și posibil investiție considerabilă de timp și bani. Dar dacă concluziile analizei sistemului și recomandările obținute pe baza acesteia nu sunt aproape întotdeauna complet de încredere, atunci se dovedește că ne asumăm un risc? Da, așa este. Fără riscul de eroare în realitate,...

Tema 1. Introducere

Plan:

1. Subiect al teoriei probabilităților

2. Informații istorice scurte

Informații teoretice

Subiect al teoriei probabilităților

Teoria probabilității- o știință matematică care studiază tipare în fenomene aleatorii.

Subiectul teoriei probabilităților este studiul tiparelor probabilistice ale fenomenelor de masă aleatoare. omogen

Metodele descoperite în teoria probabilităților au fost continuate în majoritatea științelor și ramurilor moderne ale activității umane.

De exemplu:

1. De trei zile ploua. Poți fi sigur că se va opri în a patra zi?

2. După 10 teste ale unui anumit dispozitiv, poți fi sigur că nu se va rupe la următorul test?

3. Teoria probabilității poate indica natura erorilor în calculele statistice și poate indica limitele acesteia.

4. Tragerea se efectuează de la un pistol instalat la un unghi dat față de orizontală. Folosind metode balistice, puteți găsi traiectoria teoretică a unui proiectil. Această traiectorie este complet determinată de condițiile de tragere: viteza inițială a proiectilului, unghiul de aruncare și coeficientul balistic. Traiectoria reală a fiecărui proiectil individual se abate în mod inevitabil oarecum de la traiectoria teoretică datorită unei combinații de factori cum ar fi: erori în fabricarea proiectilului, abaterea greutății încărcăturii de la valoarea nominală, eterogenitatea structurii încărcăturii, erori în instalare. țeava într-o poziție dată, condiții meteorologice etc.

Dacă tragem mai multe focuri în condiții de bază constante, vom obține nu o singură traiectorie teoretică, ci o grămadă de traiectorii, formând ceea ce se numește dispersie proiectilă.

5. Același corp este cântărit de mai multe ori pe o balanță analitică; rezultatele cântăririlor repetate sunt oarecum diferite unele de altele. Aceste diferențe se datorează influenței multor factori minori care însoțesc operația de cântărire, cum ar fi poziția corpului pe cântar, vibrațiile aleatorii ale echipamentului, erorile de citire ale dispozitivului etc.

6. Avionul zboară la o altitudine dată; teoretic zboară orizontal, uniform și în linie dreaptă. De fapt, zborul este însoțit de abateri ale centrului de masă al aeronavei de la traiectoria teoretică și de oscilații ale aeronavei în jurul centrului de masă. Aceste abateri și fluctuații sunt aleatorii și sunt asociate cu turbulențele atmosferice; nu se repetă din când în când.

Este destul de evident că nu există un singur fenomen fizic în natură în care elementele întâmplării să nu fie prezente într-o măsură sau alta. Indiferent cât de precis și de detaliu sunt fixate condițiile experimentale, este imposibil să ne asigurăm că atunci când experimentul este repetat, rezultatele coincid complet și exact.

Abaterile aleatorii însoțesc inevitabil orice fenomen natural. Cu toate acestea, într-o serie de probleme practice, aceste elemente aleatorii pot fi neglijate, considerând în loc de un fenomen real diagrama sa simplificată, un „model”, și presupunând că în condiții experimentale date fenomenul decurge într-un mod foarte definit. Dintre nenumărații factori care influențează acest fenomen, sunt evidențiați cei mai importanți factori în raport cu scopurile experimentului. Cei rămași, factori secundari pentru acest caz sunt pur și simplu neglijați. Mai mult, faptul de a stabili importanța unuia sau acelui factor este foarte complex și nu lipsit de ambiguitate.

Această schemă pentru studierea fenomenelor este utilizată în mod constant în fizică, mecanică și tehnologie. Atunci când se utilizează această schemă pentru a rezolva orice problemă, în primul rând, se identifică gama principală de condiții luate în considerare și se află ce parametri ai problemei influențează; apoi se aplică unul sau altul aparat matematic (de exemplu, sunt compilate și integrate ecuații diferențiale care descriu fenomenul); În acest fel, se dezvăluie un model de bază care este caracteristic unui fenomen dat și face posibilă prezicerea rezultatului experimentului în funcție de condițiile date. Pe măsură ce știința se dezvoltă, numărul factorilor luați în considerare devine din ce în ce mai mare; fenomenul este studiat mai detaliat; prognoza științifică devine mai exactă.

Cu toate acestea, pentru rezolvarea unui număr de probleme, schema descrisă - schema clasică a așa-numitelor „științe exacte” - se dovedește a fi prost potrivită.

Există sarcini în care rezultatul experimentului care ne interesează depinde de atât de mulți factori încât este practic imposibil să ne înregistrăm și să ținem cont de toți acești factori. Acestea sunt probleme în care numeroși factori aleatori secundari, strâns legați, joacă un rol semnificativ și, în același timp, numărul lor este atât de mare și influența lor este atât de complexă încât utilizarea metodelor clasice de cercetare nu se justifică.

De exemplu, mișcarea planetelor sistem solar, prognoza meteo, zborul cu avionul, dansul lung sau alergarea unui atlet, întâlnirea cu oameni în drum spre serviciu și multe altele.

Să ne uităm la un exemplu tipic. niste dispozitiv tehnic, de exemplu sistem control automat, rezolvă o problemă specifică în condițiile în care sistemul este afectat continuu de zgomot aleatoriu. Prezența interferenței duce la faptul că sistemul rezolvă problema cu o anumită eroare, în unele cazuri dincolo de limita permisă. Apar întrebări: cât de des vor apărea astfel de erori? Ce măsuri ar trebui luate pentru a elimina practic posibilitatea acestora?

Pentru a răspunde la astfel de întrebări, este necesar să se studieze natura și structura perturbărilor aleatoare care afectează sistemul, să se studieze răspunsul sistemului la astfel de perturbări și să se afle influența parametrilor de proiectare ai sistemului asupra tipului acestui răspuns.

Toate aceste probleme, al căror număr în fizică și tehnologie este extrem de mare, necesită studiul nu numai a legilor de bază, principale, care definesc fenomenul în termeni generali, ci și analiza perturbărilor aleatoare și a distorsiunilor asociate prezenței secundare. factori și dând rezultatului experimentului în condiții date un element de incertitudine

Din punct de vedere pur teoretic, acei factori pe care i-am numit în mod convențional „aleatori” nu sunt, în principiu, nu diferiți de alții pe care i-am identificat drept „de bază”. Teoretic, este posibil să se mărească nelimitat acuratețea rezolvării fiecărei probleme, luând în considerare tot mai multe grupuri noi de factori. Cu toate acestea, în practică, o astfel de încercare de a analiza în detaliu și în detaliu influența absolut a tuturor factorilor de care depinde fenomenul ar duce doar la faptul că rezolvarea problemei, datorită volumului și complexității sale excesive, s-ar îndrepta a fi practic imposibil și, în plus, nu ar avea nicio valoare educațională.

Practica arată că, observând mase de fenomene aleatorii omogene în agregat, descoperim de obicei în ele modele destul de definite, un fel de stabilitate caracteristică acestor fenomene de masă aleatorii particulare.

Să ne uităm la un alt exemplu. O serie de focuri sunt trase una după alta către o anumită țintă; se observă distribuţia punctelor de impact pe ţintă. Cu un număr limitat de lovituri, punctele de impact sunt distribuite pe țintă într-o dezordine completă, fără niciun model perceptibil. Pe măsură ce numărul de lovituri crește, un anumit model începe să fie observat în locația punctelor de impact; Acest model devine mai clar cu cât sunt trase mai multe focuri. Locația punctelor de impact se dovedește a fi aproximativ simetrică față de un anumit punct central: în regiunea centrală a grupului de găuri sunt situate mai dens decât la margini; în acest caz, densitatea găurilor scade conform unei legi foarte specifice (așa-numita „lege normală” sau „legea lui Gauss”, căreia i se va acorda multă atenție în acest curs).

Astfel de modele specifice, așa-numitele „statistice” sunt întotdeauna observate atunci când avem de-a face cu o masă de fenomene aleatoare omogene. Tiparele care apar în această masă se dovedesc a fi practic independente de caracteristicile individuale ale fenomenelor aleatorii individuale incluse în masă. Aceste caracteristici individuale în masă par a fi anulate, nivelate, iar rezultatul mediu al masei de fenomene aleatorii se dovedește a fi practic nu mai întâmplător.

Această stabilitate a fenomenelor de masă aleatoare, confirmată în mod repetat de experiență, servește drept bază pentru utilizarea metodelor de cercetare probabilistică (statistică).

Metodele teoriei probabilităților sunt potrivite prin natura lor numai pentru studiul fenomenelor de masă aleatoare; ele nu fac posibilă prezicerea rezultatului unui singur fenomen aleatoriu, dar fac posibilă prezicerea rezultatului total mediu al unei mase de fenomene aleatoare omogene, pentru a prezice rezultatul mediu al unei mase de experimente similare, specificul rezultatul fiecăreia rămâne incert și aleatoriu.

Cu cât este mai mare numărul de fenomene aleatorii omogene implicate într-o problemă, cu atât legile specifice inerente acestora se manifestă mai clar și mai clar, cu atât se poate face o prognoză științifică mai sigură și mai precisă.

În toate cazurile în care se folosesc metode de cercetare probabilistică, scopul lor este acela de a, ocolind studiul prea complex (și adesea practic imposibil) al unui singur fenomen cauzat de prea mulți factori, să apeleze direct la legile care guvernează masele de fenomene aleatorii. Studiul acestor legi permite nu numai efectuarea unei previziuni științifice într-o zonă unică a fenomenelor aleatorii, dar, într-un număr de cazuri, ajută la influențarea în mod intenționat a cursului fenomenelor aleatorii, controlul acestora, limitarea sferei aleatoriei și restrânge influența asupra practicii.

Metoda probabilistă sau statistică în știință nu se opune metodei clasice, obișnuite, a științelor exacte, ci este adăugarea acesteia, permițând o analiză mai profundă a unui fenomen ținând cont de elementele sale inerente ale aleatoriei.

Teoria probabilității găsește un domeniu extins de aplicare în diferite domenii ale tehnologiei militare: teoria împușcăturii și bombardamentelor, teoria muniției, teoria obiectivelor și dispozitivelor de control al focului, navigația aeriană, tactica și multe alte ramuri ale științei militare pe scară largă. utilizați metodele teoriei probabilităților și aparatul ei matematic.